（その１）では，双子素数定理，１０を原始根とする素数定理，ｎ^2＋１型素数定理など特殊な素数定理を取り上げた．順番が逆になってしまったが，今回のコラムでは，元祖素数定理と算術級数型素数定理（ディリクレの定理）を取り上げたい．

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【１】素数定理

　素数とは，２，３，５，７，１１，・・・のように１とその数自身以外に約数をもたない数のことで，プロ・アマを問わず数学者たちを魅了し続けてきました．整数論の発展は素数なしには望めなかったといっても過言ではないでしょう．素数の分布は不規則かつ複雑で未知の部分が多いのですが，１８世紀から１９世紀にまたがって活躍したガウスは「素数はどのような規則で現れるか」ということを考え，素数定理を予想しました（１７９２年：ガウスは当時１５才であった）．

　素数定理とは，

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

というものです．ここで，π（ｘ）は任意の整数ｘを越えない素数の個数を表すものとします．素数定理は，ｘを超えない素数の個数を与える近似的な公式ですが，”〜”記号は漸近的に等しい，すなわちｘが十分大きいとき両者の比が１に近づくという意味であって，両者の差がなくなるという意味ではありません．いいかえれば，この近似式の絶対誤差はｘの増大とともに増大するが，相対誤差は減少する，つまり，左辺と右辺の比はｘを∞にすると極限が存在して０でも無限大でもなく，１に収束する，

　　π（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）〜１　　　（ｘ→∞）

ということです．ｘに近い２つの連続した素数間の平均距離はおよそｌｏｇｘだといってもよいでしょう．

　１８５０年にロシアの数学者チェビシェフは任意の数ｎと２ｎの間には少なくとも一つの素数ｐが存在する（ｎ＜ｐ≦２ｎ），同じことですが素数ｐの次の素数は２ｐより小さい（ｐk+1 ＜２ｐk ）という定理を発見しました．この証明の発見は彼が実に１８才のときだったそうですから「栴檀は双葉よりの芳し」の諺のごとくです．チェビシェフの定理によって，素数の分布には何らかの秩序が存在していることになります．さらに，チェビシェフは１８５２年に，十分大きなｘについてπ（ｘ）／（ｘ／ｌｏｇｘ）が０．９２１２９と１．１０５５５の間にあるという結果を得ています．この結果を得るためにチェビシェフは，オイラーによって１７４０年に考案されたゼータ関数（のちにリーマンがこの名前を付けた）を利用しました．

　素数定理は，ガウス以降，多くの数学者たちが証明できなかった難問でしたが，ガウスの予想から約１００年後の１８９６年，フランスの数学者アダマールとプーサンは，同じ年に独立に，リーマンによって複素数まで拡張されたゼータ関数を用いてガウスの素数定理を証明しました．

　その後，長い間，素数定理の証明には複素解析的な方法を使用することが避けられないと信じられていましたが，１９４９年，フィールズメダリストのセルバーグとさすらいの数論家エルデスは独立に複素解析関数の理論を使わない初等的な方法で素数定理を証明し，当時の数学界を大いに驚嘆させました．セルバーグはこの功績によりフィールズ賞（４年に一度開かれる世界数学者会議で数学の著しい研究に対して与えられる賞で，数学界のノーベル賞ともいうべきものである）を受賞していますが，エレガントで独創的な解をもつ問題を探し当てることができる数学者が優れた数学者ということなのでしょう．

　素数定理をエラトステネスのふるいという初等的な方法を用いて，ラフなスケッチ程度に誘導してみましょう．ｘまでのすべての整数うちで，奇数，すなわち２で割れない数は大体半分（１−１／２）あります．奇数のうちで，３で割り切れない数は２／３＝１−１／３あります．さらに，残っている数のうち，５で割り切れない数は１−１／５あります．したがって，ｘを越えない素数の個数はこれらの積をすべての素数ｐにわたってとればよいことになり，近似的に

　　Π（１−１／ｐ）・ｘ

に等しくなります．さらに，Π（１−１／ｐ）は近似的に１／ｌｏｇｘに等しくなります．

　　Π（１−１／ｐ）＝Ｇ（ｘ）

　　ｅｘｐ（γ）Ｇ（ｘ）〜１／ｌｏｇ（ｘ）

　　π（ｘ）〜ｅｘｐ（γ）Ｇ（ｘ）・ｘ〜ｘ／ｌｏｇｘ

（γはオイラーの定数と呼ばれる．定数ｅｘｐ（γ）を掛ける必要があるというのがメルテンスの定理である．）ただし，これを証明するのは微積分を使っても容易ではありません．専門的で，ここで説明することはできそうにありませんから，天下り式に結果だけを示しておきます．このことを認めれば，素数定理π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘが導出されたことになります．

　さらに，素数定理にはもっとうまい近似法があります．素数の密度関数はπ（ｘ）／ｘですから，

　　π（ｘ）／ｘ〜１／ｌｏｇｘ　　　（ｘ→∞）

です．１／ｌｏｇｘが１からｘまでの平均的な素数の密度と考えられますが，これをｘの近くの素数の密度と考え，区間［１，ｘ］を小区間に区切って積分してみます．

　　Ｌｉ（ｘ）＝∫(2,x)ｄｔ／ｌｏｇｔ

Ｌｉ（ｘ）は対数積分関数と呼ばれますが，π（ｘ）をｘ／ｌｏｇｘで近似するより，対数積分を用いたＬｉ（ｘ）の近似はさらに適切な素数分布の近似式になっています．

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【２】算術級数型素数定理

　有名な素数定理（ＰＴ）は，漸近分布の形で

　　π（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

と表すことができることはわかりましたが，次に算術級数型素数定理について説明します．

　素数は４で割って１余る素数と４で割って３余る素数の２種類に分類できます（２だけは例外）．前者の素数はつねに２つの２乗数の和となりますが，後者の素数は決してその形には表せません．

　（例）１３＝２2＋３2，１９＝？2＋？2

この定理はフェルマー・オイラーの２平方和定理として知られています．

　それでは，４で割って１余る素数と４で割って３余る素数ではどちらが多いでしょうか？　実は，４で割って１余る素数，４で割って３余る素数の逆数和がともに無限大になり，どちらも無限個あってほぼ同じくらい存在することが示されています．

　　π4,1（ｘ）〜π4,3（ｘ）〜１／２・ｘ／ｌｏｇｘ

　それでは３で割って１余る素数，２余る素数，６で割って１余る素数，５余る素数などではどうなるのでしょうか？　素数は無限個存在し，そして等差数列｛ａ＋ｋｎ｝にも素数は無限に含まれるのですが，素数ｐでａ＋ｋｎの形のものの分布問題がディリクレの算術級数定理です．

　　π（ｘ；ａ，ｎ）〜Ｃ・ｘ／ｌｏｇｘ　　　Ｃ＝１／φ（ｎ）

　　π2,1（ｘ）〜ｘ／ｌｏｇｘ

　　π3,1（ｘ）〜π3,3（ｘ）〜１／２・ｘ／ｌｏｇｘ

　　π4,1（ｘ）〜π4,3（ｘ）〜１／２・ｘ／ｌｏｇｘ

　　π5,1（ｘ）〜π5,2（ｘ）〜π5,3（ｘ）〜π5,4（ｘ）１／４・ｘ／ｌｏｇｘ

　　π6,1（ｘ）〜π6,5（ｘ）〜１／２・ｘ／ｌｏｇｘ

　算術級数定理は素数定理を精密化したもので，初項ａの取り方にはよらないのですが，ここで，オイラーの関数φ（ｎ）は１からｎ−１までの整数のうち，ｎと互いに素になるものの個数

　　φ（ｎ）＝＃（Ｚ／ｎＺ）

として定義されます．たとえば，ｎ＝７の場合，１，２，３，４，５，６なのでφ（７）＝６，ｎ＝１０の場合１，３，７，９がそうなのでφ（１０）＝４となります．

　１７６０年頃，オイラーは，数ｎが素因数ｐ，ｑ，ｒ，・・・をもつときに，それらの重複度にかかわらず，

　　φ（ｎ）＝ｎ（１−１／ｐ）（１−１／ｑ）（１−１／ｒ）・・・

であることを示しました．この原理は「エラトステネスのふるい」によっているのですが，たとえば，１０＝２・５，４４＝２^2・１１，１００＝２^2・５^2より，

　　φ（１０）＝１０（１−１／２）（１−１／５）＝４

　　φ（４４）＝４４（１−１／２）（１−１／１１）＝２０

　　φ（１００）＝１００（１−１／２）（１−１／５）＝４０

また，任意の素数ｐに対して，

　　φ（ｐ^n）＝ｐ^n（１−１／ｐ）

したがって，

　　φ（ｐ）＝ｐ（１−１／ｐ）＝ｐ−１

となります．

　なお，算術級数定理の証明にはディリクレのＬ関数

　　Ｌ（ｓ，χ）＝Π（１−χ（ｐ）ｐ^(-s)）^(-1)

　　　　χは乗法群（Ｚ／ｎＺ）の１次元表現

が用いられます．

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