正三角形のみによる凸多面体がデルタ多面体である．ｆ＝４，６，８，１０，１２，１４，１６，２０の８種類あり，ｆ＝１８はない．デルタ多面体による空間充填は正四面体と正八面体の組み合わせがよく知られているが，そのほかにはないのだろうか？

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【１】デルタ充填

　デルタ多面体の木工製作を終えた中川宏さんがこの問題を検討してくれた．デルタ充填は双子の正１２面体を除くと，正三角錘，正四角錘，正五角錘，正三角柱に分解されるが，いろいろ試した結果，どの組み合わせもうまくいかないことがわかった．

　とはいってもすべての組み合わせについてしらみつぶしに検索したわけではないし，試行錯誤でそこまでやることは到底出来ない相談である．そこで，コンピュータで計算させることにした．

　　正四面体　→　ｃｏｓδ4＝１／３，δ4＝７０．５２８８

　　正八面体　→　ｃｏｓδ8＝−１／３，δ8＝１０９．４７１

　　正二十面体　→　ｃｏｓδ20＝−√５／３，δ20＝１３８．１９

　　△６面体　→　δ4＝７０．５２８８

　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−７／９，δ＝１４１．０５８＝２δ4

　　△１０面体　→　δ20＝１３８．１９

　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝（−５＋４√５）／１５，δ＝７４．７５４８

　　△１４面体　→　δ8＝１０９．４７１

　　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−√２／√３，δ＝１４４．７３６

　　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−√２／√３−１／６，δ＝１６９．４７１

　　△１６面体　→　δ8＝１０９．４７１

　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−（√２−１）／√３，δ＝１０３．８３６

　　　　　　　　　ｃｏｓδ＝−２（２√２−１）／７，δ＝１２１．４９４

　△１２面体の場合は３次方程式の解を必要とする．（この方程式とはｘ^2＝ｚとおくと，ｚ^4−２１ｚ^3＋１３２ｚ^2−３２０ｚ＋２５６＝０であるが，　　（ｚ−４）（ｚ^3−１７ｚ^2＋６４ｚ−６４）＝０

となって３次方程式に帰着される．ゆえに△１２面体は定規とコンパスによって作図可能ではない．）

　θ＝１／３・ａｒｃｔａｎ（２４√２３７／８８１）

　ｚ＝１／３｛１７−√９７（ｃｏｓθ＋√３ｓｉｎθ）｝＝１．６６１９６

　ｘ＝１．２８９１７

より，△１２面体の二面角は

　δ＝９６．１９８２

　δ＝１２１．７４３

　δ＝１６６．４４１

　これらすべての組み合わせについて

　　Σｎδ＝３６０

を満たす解を探索すると（正四面体，△６面体）×（正八面体）の組み合わせしかないことがわかった．デルタ多面体による空間充填は本質的に正四面体と正八面体の組み合わせのほかにはないのである．

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【２】ダ・ヴィンチの星

　凸多面体に限らなければ正三角形面のみからなる多面体は無数にできる．たとえば，正多面体のすべての面に正三角錘，正四角錘，正五角錘を載せた多面体（ダ・ヴィンチの星）は凸多面体ではない．デルタ多多面体の面に正四面体をのせるだけでも新しいデルタ多面体が得られる．正八面体をねじれた柱のように積んでいくこともできるから，無限の可能性がでてくる．

　ダ・ヴィンチの星も加えたデルタ充填も存在しないだろうか？

　　正四面体＋正三角錐　→　ｃｏｓδ＝−２３／２７，δ＝２１１．５８６

　　立方体＋正四角錐　→　ｃｏｓδ＝−２√２／３，δ＝１９９．４７１

　　正八面体＋正三角錐　→　ｃｏｓδ＝−１／３，δ＝２５０．５２９

　　正十二面体＋正五角錐　→　ｃｏｓδ＝−（８＋３√５）／１５，δ＝１９１．３２

　　正二十体＋正三角錐　→　ｃｏｓδ＝（７√５−８√２）／２７，δ＝２７９．２４７

　　Σｎδ＝３６０

を満たす解を探索すると（正四面体，△６面体）×（正八面体＋正三角錐）の組み合わせしかないことがわかった．ダ・ヴィンチの星まで拡張しても，デルタ多面体による空間充填は本質的に正四面体と正八面体の組み合わせのほかにはないのである．

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