正二十面体の各頂点の周りには５つの頂点があるが，それらを頂点とする５角形の膜を張る．このことを１２個の頂点でやると五角形同士があちこちで交わる．これがポアンソの大十二面体（great dodecahedron：ＧＤ）である．正十二面体の１辺の長さをｘとおくと，この五角形の膜の各辺は正十二面体の面の対角線であるから，１辺の長さはφｘである．

　正二十面体の各面の周りには隣接する正三角面の３つの頂点があるが，それらを頂点とする３角形の膜を張る．このことを２０個の頂点でやると三角形同士があちこちで交わる．これがポアンソの大二十面体（great icosahedron：ＧＩ）である．正二十面体の１辺の長さをｘとおくと，このときも三角形の膜の各辺の長さはφｘである．

　ＧＤではオイラーの多面体公式：ｖ−ｅ＋ｆ＝２は成立しないが，ＧＩではこの公式が当てはまる（実はＧＤは穴あき多面体になっている）．ポアンソはほぼ同時代の同じフランスの数学者ポアソンと混同しないように注意されたい．

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【１】木工模型を作る

　正二十面体の五角錘の頂上部を押し込んでくぼませると凹デルタ２０面体ができる．佐竹正雄さん製作による凹デルタ２０面体の写真を掲げる．

　凹面に朝顔型の帽子を貼り付けたものが大二十面体となるのだが，まず芯となる正五角錘様部材を１２個貼り合わせる．

　次に，朝顔型の帽子のひだになる部材を６０個用意して貼り付けるという工程になるものと思われるが，とにかく厄介な星型正多面体である．

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【２】大二十面体の計量

　正二十面体のもとの立方体の１辺の長さを２，もとの立方体表面に残る１本の稜の長さを２ｄとします（０≦ｄ≦１）．このとき，

　　ｄ＝（√５−１）／２

で，三角面の頂点の座標は

　　Ａ（０，１，ｄ）

　　Ｂ（−ｄ，０，１）

　　Ｃ（ｄ，０，１）

と表されます．

　点Ａに集まるひだによってくぼんだ三角錐ができますが，その交点の座標を計算すると，

　　Ｐ（０，ｄ^3，ｄ）

　　Ｑ（−ｄ^2，ｄ^2，ｄ^2）

　　Ｒ（−（５−２√５）／５，（５−√５）／１０，（−５＋３√５）／５）

　また，凹デルタ２０面体のすり鉢の中心は

　　Ｓ（０，ｄ^3，ｄ^4）

すり鉢の辺と芯ひだ境界との交点は

　　Ｔ（０，ｄ^3，（−１５＋７√５）／２）

と計算されます．これらの座標をもとにして，工作に必要な数値をはじきだします．

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