（その１１）ではｎが平方数でなければ√ｎは無理数であることの証明を述べたが，その補足をしておきたい．

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【１】ｎが平方数でなければ√ｎは無理数である

　√２が無理数であることはギリシア数学のなかでも有名な定理で，ピタゴラスが背理法を用いて証明している．

（証）√２が２つの互いに素な整数の比ｐ／ｑで表されるとすると，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2．したがって，ｐは偶数であり，ｐ＝２ｒという形に表すことができる．代入して２で割ると

　　２ｒ^2＝ｑ^2

が得られるが，ｑが偶数となって互いに素という仮定に反する．

　√３が無理数であることも同様に証明できる．

（証）ｐ，ｑを３で割り切れない２つの整数で，√３＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝３ｑ^2と仮定する．ｐは３で割り切れるから，ｐ＝３ｒという形に表すことができる．代入して３で割ると

　　３ｒ^2＝ｑ^2

が得られるが，ｑが３で割り切れることになり矛盾．

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　２で割ることができない２つの整数の積は２で割ることができない．３で割ることができない２つの整数の積は３で割ることができない．この議論は５でも適用され，５で割ることができない２つの整数の積は５で割ることができない．しかし，６ではこの議論は適用できず，検証すべき場合分けが増えていく．それでもこの議論を続けていけば√５，√６，√７，・・・も無理数であることを確認できるが，一般的にｎが平方数でなければ√ｎは無理数であることを証明するには不十分である．

　そこで，以下のようにすれば，古代から知られ高校の教科書に載っているものとあまり変わりなく，しかし，異なった味あいがする証明になるだろう．

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　√ｎが有理数であるとし，√ｎ＝ｐ／ｑとおくと，

　　ｐ^2＝ｎｑ^2

が成り立つ．素因数分解ｐ＝ｐ1ｐ2・・・ｐr，ｑ＝ｑ1ｑ2・・・ｑs，ｎ＝ｎ1^i1ｎ2^i2・・・ｎk^ik　　（ｐ1≦・・・≦ｐr，ｑ1≦・・・≦ｑs，ｎ1＜・・・＜ｎk）を代入すれば

　　ｐ1^2ｐ2^2・・・ｐr^2＝ｎ1^i1ｎ2^i2・・・ｎk^ikｑ1^2ｑ2^2・・・ｑs^2

　ｎは平方数ではないから，ｉ1，・・・，ｉkのうち少なくともひとつは奇数，そこでｉlが奇数であるとする．しかし，ｐ1^2ｐ2^2・・・ｐr^2とｑ1^2ｑ2^2・・・ｑs^2に現れるｎlの個数は０または偶数であるから，素因数分解の一意性に矛盾する．

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【２】素数は無限に存在する

　素数が無限に存在することもギリシア数学の有名な定理で，ユークリッドが原論の中で背理法を用いて証明している．

（証）全部でｎ個の素数ｐ1，ｐ2，・・・，ｐnがあるとする．

　　Ｎ＝ｐ1ｐ2・・・ｐn＋１

を考えると，その素因数はｐ1，ｐ2，・・・，ｐnとは異なる．このことはｎ個の素数以外に別の素数が存在しなければならないことを意味する．この証明はだれしもが容易に理解できるものであろう。

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　オイラーは素数の逆数の和

　　１＋１／ｐ1＋１／ｐ2＋・・・＋１／ｐn

が限りなく増大することを示すことによって，素数が無限に存在することを証明した．調和級数Σ（１／ｎ）が無限大に発散すること

　　１／１＋１／２＋１／３＋・・・→∞

は容易に示すことができるが，それでは，素数の逆数の和

　　Σ（１／ｐ）＝１／２＋１／３＋１／５＋１／７＋１／１１＋・・・

は有限だろうか？

　ここでは，不等式

　　１−１／ｎ≧１／４^1/n

を利用して証明してみよう．

（証）

　　１−１／ｐi≧１／４^1/pi

　　１／（１−１／ｐ1）（１−１／ｐ2）・・・（１−１／ｐn）≦４^(1/pi+1/p2+･･･+1/pn)

　調和級数１／１＋１／２＋１／３＋・・・は，オイラー積表示するとΠ１／（１−１／ｐ）と書けるから，

　　Π１／（１−１／ｐ）→∞

しかし，素数の数が有限であるとすると，右辺４^(1/pi+1/p2+･･･+1/pn)は有限となり矛盾する．したがって，すべての素数の逆数の和は発散することが示される．

　　Σ（１／ｐ）→∞

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　１７３７年，オイラーは素数の逆数の和が無限大になることを見つけました．このことから，素数が無限個あることは簡単にわかります．また，調和級数Σ（１／ｎ）は発散し，オイラー級数Σ（１／ｎ^2）＝π^2／６で収束しますから，素数は平方数ほどまばらには分布していないこともわかります．

　さらに，ｌｏｇΠ（１−１／ｐ）＝Σｌｏｇ（１−１／ｐ）．１／ｐが非常に小さいとき，マクローリン展開より

　　Σｌｏｇ（１−１／ｐ）〜−Σ（１／ｐ）

このことを詳しく調べると，

　　Σ（１／ｐ）〜ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）　（ｐはｐ≦ｘの素数を動く，証明略）

などがわかってきます．ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）は１／（ｘｌｏｇｘ）の原始関数です．Σ（１／ｐ）はｘに近い整数について，その素因数の個数の近似値を与えるもので，ハーディーとラマヌジャンにより明らかにされています．

　また，これらの式から

　　Σｌｏｇ（１−１／ｐ）〜−ｌｏｇ（ｌｏｇｘ）

がでますが，両辺の指数をとると

　　Π（１−１／ｐ）〜１／ｌｏｇｘ

が得られます．

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