各成分が１か−１のｎ×ｎ行列の行列式はｎ^n/2以下である．もっと一般に，平行２ｎ体の体積を考えると，各成分が｜ａijl≦１のとき，

　　｜ｄｅｔＡ｜≦ｎ^n/2

であることがわかる．

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［定理］次数ｎのアダマール行列が行列が存在するならば，ｎ＝１，２，またはｎ＝４の倍数であ．

［予想］４の倍数のある任意の自然数に対して，その次数のアダマール行列が存在するか否かは有名な未解決問題である．

　すなわち，アダマール行列予想とは，ｎが４の倍数であればアダマール行列は必ず存在するというものである．現在発見されていない最小のアダマール行列は

　　ｎ＝６６８＝４・１６７

である．

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