【１】有限射影平面

　次の４つの条件は同値である．

［１］どの直線もｎ＋１点を含む

［２］どの点もｎ＋１本の直線に含まれる

［３］全部でｎ^2＋ｎ＋１個の点が存在する

［４］全部でｎ^2＋ｎ＋１本の直線が存在する

［定理］ｎ＝１，２　　（ｍｏｄ４）のとき，位数ｎの射影平面が存在するならば，ｎは２つの平方数の和

　　ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2

で表される．

［定理］位数ｎ＝６，１４，２１，２２，・・・の射影平面は存在しない．

［定理］位数ｎ＝２，３，４，５，７，８→射影平面は同型を除いて一意．

　　　　位数ｎ＝９→４つの同型でないものが存在する．

　　　　位数ｎ＝１０→同型を除いて一意．

　　　　位数ｎ＝１２，１５→未解決（反例は見つかっていない）．

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【２】有限アフィン平面

　次の４つの条件は同値である．

［１］どの直線もｎ点を含む

［２］どの点もｎ＋１本の直線に含まれる

［３］全部でｎ^2個の点が存在する

［４］全部でｎ^2＋ｎ本の直線が存在する

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