【１】グレコ・ラテン方陣の存在・非存在

　ｎ行ｎ列の正方形の升目に文字を配列し，各行各列に文字の重複がないものをｎ次ラテン方陣という．

　　［ａ，ｂ，ｃ］　　［ａ，ｂ，ｃ］

　　［ｂ，ｃ，ａ］　　［ｃ，ａ，ｂ］

　　［ｃ，ａ，ｂ］　　［ｂ，ｃ，ａ］

は３次のラテン方陣であるが，縦も横も同じ文字が重複なく１回ずつしかでてこない．ラテン方陣を作るには，最初の行をａ，ｂ，ｃとして一行下がるごとに左に（あるいは右に）ひとつずつ巡回置換させればよい．

　ラテン方陣では属性はひとつであったが，次に属性を１つ増やして２つの属性を有する対象を升目状に並べた配列を考える．同じ組が現れずすべて異なる配列が「グレコ・ラテン方陣」である．グレコ・ラテン方陣はオイラーにちなんで「オイラー方陣」とも呼ばれる．

　　［ａ，ｂ，ｃ］　［α，β，γ］　［ａα，ｂβ，ｃγ］

　　［ｂ，ｃ，ａ］＋［γ，α，β］＝［ｂγ，ｃα，ａβ］

　　［ｃ，ａ，ｂ］　［β，γ，α］　［ｃβ，ａγ，ｂα］

は３次の左巡回ラテン方陣と右巡回ラテン方陣を組み合わせて，グレコ・ラテン方陣にしたものである．このように，合併してグレコ・ラテン方陣になる２つのラテン方陣を（比喩的に）直交するという．

　　［１，２，３］　［１，２，３］　［１１，２２，３３］

　　［３，１，２］＋［２，３，１］＝［３２，１３，２１］

　　［２，３，１］　［３，１，２］　［２３，３１，１２］

は３次のラテン方陣を組み合わせて，グレコ・ラテン方陣にしたものである．

　しかし，４次のラテン方陣を組み合わせても</P>

　　［１，２，３，４］　［１，２，３，４］　［１１，２２，３３，４４］

　　［４，１，２，３］＋［２，３，４，１］＝［４２，１３，２４，３１］

　　［３，４，１，２］　［３，４，１，２］　［３３，４４，１１，２２］

　　［２，３，４，１］　［４，１，２，３］　［２４，３１，４２，１３］

のように同じ数字が２回でてきてしまう．失敗の原因は，これらは非直交であるため，４次のグレコ・ラテン方陣とはならないことによる．

　一般にｎが奇数の場合，２つのラテン方陣を組み合わせるとグレコ・ラテン方陣ができるが，偶数のときはダメである．実は４次の魔法陣はまったく別の方法で作ることができるのだが，それには「有限体」を理解することが必要になる．

　有限アフィン平面Ｆ4×Ｆ4を利用して作った以下の２つのラテン方陣は直交していて，これらを組み合わせるとグレコ・ラテン方陣になる．

　　［０，１，２，３］　［０，１，２，３］　［００，１１，２２，３３］

　　［１，０，３，２］＋［３，２，１，０］＝［１３，０２，３１，２０］

　　［２，３，０，１］　［１，０，３，２］　［２１，３０，０３，１２］

　　［３，２，１，０］　［２，３，０，１］　［３２，２３，１０，０１］

　すべてのｎに対してグレコ・ラテン方陣は存在するのか？　また，そうでないとしたらどのようなｎに対してグレコ・ラテン方陣は存在するのだろうか？

　１７７９年，オイラーは３６人士官問題を出したが，この問題は直交する６次ラテン方陣の非存在と同値である．オイラーの予想が正しいことを最初に証明したのはタリー（１９００年）である．そして，１９６０年にはｎ≠２，６ならば直交する２つのラテン方陣が存在することが証明された．すなわち，ｎ＝２と６の場合だけグレコ・ラテン方陣が不可能であることが判明したのである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】完全直交系と有限射影平面

　グレコ・ラテン方陣では直交するラテン方陣が一組存在すればよいのであるが，次に問題になるのは，互いに直交するｎ次ラテン方陣の個数Ｎ（ｎ）の決定である．この問題は１９３０年代にフィッシャーにより創始された統計学における実験計画と関係しているので，統計分野の人にとってはなじみの問題かもしれない．

　　Ｎ（１）＝１，Ｎ（２）＝１，Ｎ（６）＝１

　　Ｎ（ｎ）≧２（ｎ≧３，ｎ≠６）

　そして

　　Ｎ（ｎ）≦ｎ−１

であることは容易にわかるのだが，

　　Ｎ（ｎ）＝ｎ−１

が成立するとき，互いに直交するｎ−１個のラテン方陣を完全直交系という．

　完全直交系が存在するｎを決定することは有名な未解決問題である．有限体を用いると，素数ｐの累乗ｎ＝ｐ^rに対して，ｎ次ラテン方陣の完全直交系が存在することがわかっている．そして，各直線上にｎ＋１個ずつの点があるのが「有限アフィン平面」で，ｎが素数または素数の累乗のとき有限アフィン平面は存在する．

　すなわち，有限アフィン平面の存在は，ｎ−１組の互いに直交するラテン方陣の存在と同値であって，この逆も成り立つのである．

　　『ｎ次の有限アフィン平面の存在←→（ｎ−１）個の互いに直交するラテン方陣の存在』

　ｎ次のアフィン（射影）平面が存在すれば，方程式

　　ｚ^2＝ｎｘ^2＋(-1)^((n(n+1)/2)ｙ^2

がすべて０でない整数解をもつことが示されていて，たとえば，ｎ＝６の場合，

　　ｚ^2＝６ｘ^2−ｙ^2

が整数解をもたないことを示すことができるので，６次のアフィン（射影）平面は存在しないことになる．

　さらに，ｎ＝４ｋ＋１，４ｋ＋２の場合にｎ次のアフィン（射影）平面が存在すれば，

　　ｎ＝ｘ^2＋ｙ^2

となる整数が存在するということも証明されている．このことからｎ＝６，１４，２１，２２，・・・の場合，ｎ次のアフィン（射影）平面が存在しないことがわかるということである．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝