【１】グレコ・ラテン方陣の存在・非存在

　すべてのｎに対してグレコ・ラテン方陣は存在するのでしょうか？　また，そうでないとしたらどのようなｎに対してグレコ・ラテン方陣は存在するのでしょう？

　ｐ次のグレコ・ラテン方陣とｑ次のグレコ・ラテン方陣があれば，ｐ×ｑ次のグレコ・ラテン方陣を作ることができます．また，グレコ・ラテン方陣はｎが奇数のときと４の倍数のときに可能であることがわかっていて，

　　ｎ＝２^q×ｌ，ｌは奇数，ｑ≧２

とすると，ｌは奇数ですからｌ次のグレコ・ラテン方陣は存在します．２^q個の元からなる体は存在し，したがって，２^q次のアフィン平面も存在するので，２^q次のグレコ・ラテン方陣は存在しますから，２^q×ｌ次のグレコ・ラテン方陣も可能であることがわかります．

　結局，ｑ＝１の場合，すなわち，

　　ｎ＝２×ｌ＝２（２ｋ＋１）＝４ｋ＋２

の場合だけが残ります．

　１７８２年，オイラーはｎ＝４ｋ＋２（２の奇数倍）のときグレコ・ラテン方陣は不可能と予想し，そして１９０３年にタリーがｋ＝１すなわちｎ＝６の場合があることをしらみつぶしの方法によって証明しました．

　ｎが素数または素数の累乗のときには有限アフィン平面は存在しますが，ｎ＝６のときには不存在であることが証明できるようです．有限アフィン平面の存在はｎ−１組の互いに直交するラテン方陣の存在と同値ですから，これは５個の互いに直交するラテン方陣がないことを主張しているのであって，直交するラテン方陣が一組も存在しないかについて何もいっていないことになります．

　１９０３年，タリーによって６次のグレコ・ラテン方陣は不可能であることが証明されているのですが，６次のアフィン平面は存在しないので，直交するラテン方陣が一組も存在しませんという言明は正しくなく，したがって，その証明はしらみつぶしの方法によるしかないのです．

　その後，１９５９年になって，ボーズ，シュリカンデ，パーカーによって，ｎが２２や１４のときに可能なことがわかると，せきをきったように一般的な作り方がわかっていき，最も困難だったｎ＝１８の場合も攻略され，１年ほどでｎ≧１０であるｎ＝４ｋ＋２という形の数すべてについて，互いに直交するラテン方陣が存在することが判明しました．１７７年にわたる難問の解決は当時の世界に大きな衝撃を与え，New York Timesのトップ記事として報道されたのですが，数学に関する取り扱いとしては空前絶後のものでした．

　たとえば，１０次のグレコ・ラテン方陣

　　［００，４７，１８，７６，２９，９３，８５，３４，６１，５２］

　　［８６，１１，５７，２８，７０，３９，９４，４５，０２，６３］

　　［９５，８０，２２，６７，３８，７１，４９，５６，１３，０４］

　　［５９，９６，８１，３３，０７，４８，７２，６０，２４，１５］

　　［７３，６９，９０，８２，４４，１７，５８，０１，３５，２６］

　　［６８，７４，０９，９１，８３，５５，２７，１２，４６，３０］

　　［３７，０８，７５，１９，９２，８４，６６，２３，５０，４１］

　　［１４，２５，３６，４０，５１，６２，０２，７７，８８，９９］

　　［２１，３２，４３，５４，６５，０６，１０，８９，９７，７８］

　　［４２，５３，６４，０５，１６，２０，３１，９８，７９，８７］

では，１≦（ｉ，ｊ）≦７の場合と８≦（ｉ，ｊ）≦１０の場合で作り方が違っていて，１０＝３＋７＝３＋（１＋２×３）と分解することによって，２個の直交するラテン方陣を作り出しています．

　こうして，オイラーの予想は覆され，ｎ＝２と６の場合だけグレコ・ラテン方陣が不可能であることが判明したのでした．

　なお，６次の魔方陣は存在し，

　　［００，０１，０２，３３，３４，３５］

　　［３０，３１，１４，０３，２２，０５］

　　［２９，２８，２７，０８，０７，０６］

　　［１１，１０，０９，２６，２５，２４］

　　［２３，１９，２１，２０，０４，１８］

　　［１２，１６，３２，１５，１３，１７］

は和算家・久留島義太の手作りとされるものです．

　この６進数版は

　　［００，０１，０２，５３，５４，５５］

　　［５０，５１，２２，０３，３４，０５］

　　［４５，４４，４３，１２，１１，１０］

　　［１５，１４，１３，４２，４１，４０］

　　［３５，３１，３３，３２，０４，３０］

　　［２０，２４，５４，２３，２１，２５］

ですが，グレコ・ラテン方陣にならないことはすぐにわかります．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝