全体を近似するよい部分集合を求めというのがデザイン理論の本質である．である．

　ところで，各直線上にｎ＋１個ずつの点があるのが「有限アフィン平面」で，ｎが素数または素数の累乗のとき有限アフィン平面は存在します．そして，有限アフィン平面の存在は，ｎ−１組の互いに直交するラテン方陣の存在と同値であって，この逆も成り立ちます．すなわち

　　『ｎ次の有限アフィン平面の存在←→（ｎ−１）個の互いに直交するラテン方陣の存在』

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　１本の直線上にｎ個の点があるアフィン平面をｎ次のアフィン平面と呼びます．有限アフィン平面Ｆq×Ｆqは

　　｛（ｘ，ｙ）｜ａｘ＋ｂｙ＝ｃ，ａ，ｂ，ｃ，ｘ，ｙはＦqに属する｝

で定義されるものです．

　ｎ次のアフィン平面では１点を通る直線はｎ＋１本で，ｎ^2個の点がありますから，全部で

　　ｎ^2（ｎ＋１）／ｎ＝ｎ（ｎ＋１）

本の直線があります．

　最も簡単な有限アフィン平面はＺ2×Ｚ2で，４個の点を四面体状に結んだものです．また，ｎ次のアフィン平面上では平行な直線はｎ本あり，平行な直線同士を集めた組がｎ＋１組あります．

　Ｆ>4×Ｆ4の場合，ａ＝ｂ＝０ではない（ａ，ｂ，ｃ）の組は４^3−４＝６０通りあり，このうち３組ずつが同じ直線を表しますから，直線の数は全部で２０本です．そのうち，（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，０）の直線ｌ9は（ｘ，ｙ）＝（０，０），（１，１），（ｚ，ｚ），（ｚ＋１，ｚ＋１）を通ります．

　　０＋０＝０

　　１＋１＝２＝０

　　ｚ＋ｚ＝２ｚ＝０

　　ｚ＋１＋ｚ＋１＝２ｚ＋２＝０＋０＝０

　また，（ａ，ｂ，ｃ）＝（１，１，１），（１，１，ｚ），（１，１，ｚ＋１）の直線ｌ10，ｌ11，ｌ12はｌ9と（ａ，ｂ）が同じでｃが異なりますから平行です．このように，Ｆ4×Ｆ4には互いに平行な直線が４本ずつ５組あります．

　ここで，

　　Ｌ0＝ｌ9，Ｌ1＝ｌ10，Ｌ2＝ｌ11，Ｌ3＝ｌ12

とおいて，

　　Ｌ0が（ｉ，ｊ）を通るとき升目に０を入れる

　→Ｌ1が（ｉ，ｊ）を通るとき升目に１を入れる

　→Ｌ2が（ｉ，ｊ）を通るとき升目に２を入れる

　→Ｌ3が（ｉ，ｊ）を通るとき升目に３を入れる

を繰り返すと，ラテン方陣

　　×　　　０　　　１　　　ｚ　　ｚ＋１

　　０　　　０　　　１　　　２　　　３

　　１　　　１　　　０　　　３　　　２

　　ｚ　　　２　　　３　　　０　　　１

　ｚ＋１　　３　　　２　　　１　　　０

が得られます．

<

　別のセット（Ｌ0，Ｌ1，Ｌ2，Ｌ3）＝（ｌ17，ｌ18，ｌ19，ｌ20）からも同様に，ラテン方陣

　　×　　　０　　　１　　　ｚ　　ｚ＋１

　　０　　　０　　　１　　　２　　　３

　　１　　　３　　　２　　　１　　　０

　　ｚ　　　１　　　０　　　３　　　２

　ｚ＋１　　２　　　３　　　０　　　１

が得られるのですが，この２つのラテン方陣は直交していて，これらを組み合わせると，グレコ・ラテン方陣になります．

　　［０，１，２，３］　［０，１，２，３］　［００，１１，２２，３３］

　　［１，０，３，２］＋［３，２，１，０］＝［１３，０２，３１，２０］

　　［２，３，０，１］　［１，０，３，２］　［２１，３０，０３，１２］

　　［３，２，１，０］　［２，３，０，１］　［３２，２３，１０，０１］

　この２つのラテン方陣はたまたま都合よく直交していたのではなく，ｎ次のアフィン平面があれば，互いに直交するｎ−１個のラテン方陣が存在することが証明されています．

　そして，４進数を１０進数に直すと４次の魔方陣となります．

　　［００，１１，２２，３３］　［　０，　５，１０，１５］

　　［１３，０２，３１，２０］＝［　７，　２，１３，　８］

　　［２１，３０，０３，１２］　［　９，１２，　３，　６］

　　［３２，２３，１０，０１］　［１４，１１，　４，　１］

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