１辺の長さが１の正ｎ角形と正方形の側面からなるアルキメデス角柱の底面に対して上面をひねることによって，１辺の長さが１の正三角形の側面をもつアルキメデス反角柱に変換する．その際，断面積は増加するが，高さは減少する．それでは，体積はどうなるのであろうか？

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【１】反角柱の体積

　正ｎ角形の外接円の半径をｒとすると

　　ｒｓｉｎ（π／ｎ）＝１／２　→　ｒ＝１／２ｓｉｎ（π／ｎ）

また，反角柱の高さは

　　Ｈ^2＝１^2−（２ｒｓｉｎ（π／２ｎ））^2

　反角柱の高さＨｔ（０≦ｔ≦１）での断面積を計算する．切り口は２ｎ角形になるが，その辺の長さはｃ＝ｔ，ｄ＝１−ｔで周長は常に一定＝ｎであることがわかる．

　それぞれの辺と中心軸との距離は

　　ｃ’＝（ｒ−ｒｃｏｓ（π／ｎ））（１−ｔ）＋ｒｃｏｓ（π／ｎ），

　　ｄ’＝（ｒ−ｒｃｏｓ（π／ｎ））ｔ＋ｒｃｏｓ（π／ｎ）

であるから，断面積は

　　ｓ＝ｎ／２（ｃｃ’＋ｄｄ’）

　　　＝ｎ（（ｒ−ｒｃｏｓ（π／ｎ））ｔ（１−ｔ）＋１／２・ｒｃｏｓ（π／ｎ｝

　体積は

　　ｖ＝Ｈ∫(0,1)ｓｄｔ

　　　＝ｎＨ｛（ｒ−ｒｃｏｓ（π／ｎ））／６＋１／２・ｒｃｏｓ（π／ｎ）｝

　　　＝ｎＨ／６（ｒ＋２ｒｃｏｓ（π／ｎ））

ただし，

　　ｒ＝１／２ｓｉｎ（π／ｎ）

　　Ｈ＝（１−（２ｒｓｉｎ（π／２ｎ））^2）^1/2

　　　＝（１−（１／２ｃｏｓ（π／２ｎ））^2）^1/2

で与えられる．

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【２】体積比較

　それに対して，角柱の体積は

　　ｖ0＝ｎ／２・ｒｃｏｓ（π／ｎ）

で与えられる．

N V V0 V/V0

3 .471405 .433013 1.08866

4 .957001 1 .957

5 1.57869 1.72048 .917588

6 2.33754 2.59808 .89972

7 3.23392 3.63392 .889927

8 4.26796 4.82843 .883923

9 5.43974 6.18183 .879956

10 6.74929 7.69422 .877191

11 8.19664 9.36565 .875181

12 9.78179 11.1962 .873674

20 27.4246 31.5688 .868726

30 61.8828 71.3578 .867218

40 110.124 127.062 .866695

50 172.149 198.682 .866453

60 247.956 286.217 .866323

70 337.548 389.668 .866244

80 440.922 509.034 .866193

90 558.079 644.316 .866157

100 689.02 795.514 .866132

　ｎ＝３の場合，反角柱の体積は角柱より大きくなるが，ｎ＞３では小さくなるようである．体積比ｖ／ｖ0の極限値が

　　√３／２＝０．８６６０２５

に収束することは簡単に求められる．

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