１辺の長さａの正２０面体を２０個の四面体に分割すると，四面体は１辺の長さａの正三角形１枚と，底辺の長さａと長さｂの２辺からなる二等辺三角形３枚で作られている．

　　ｂ＝ａ／２｛（５−√５）／１０｝^1/2

　　　＝ａ｛（５＋√５）／２）^1/2／２

　　　＝ａ（１＋τ^2）^1/2／２≒０．９５１０５７ａ

　正三角形ａ^3２枚と二等辺三角形ａｂ^2６枚で作られた８面体を黄金八面体と呼ぶことにするが，黄金八面体も正八面体同様，正２０面体をつなぐことができる多面体である．このとき，正２０面体を結ぶ方向は３回対称軸［１，１，１］に対応する．

　（その４）では，正八面体と正二十面体とαによる空間充填の諸計量を求めたが，今回コラムでは黄金八面体による正２０面体の連結の場合の諸計量を計算することにする．

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【１】黄金八面体の正三角形面間距離

　１辺の長さが１の正三角形の外接円の半径をｒとすると

　　ｒｓｉｎπ／３＝１／２　→　ｒ＝１／√３

また，反角柱の高さは

　　Ｈ^2＝ｂ^2−（２ｒｓｉｎπ／６）^2＝ｂ^2−１／３

　ｂ＝ａならばＨ＝√２／√３となって，正八面体の面間距離に一致する．

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【２】黄金八面体の体積

　反角柱の高さＨｔ（０≦ｔ≦１）での断面積を計算する．切り口は六角形になるが，その辺の長さはｃ＝ｔ，ｄ＝１−ｔで周長は常に一定であることがわかる．それぞれの辺と中心軸との距離は

　　ｃ’＝ｒ／２（１−ｔ）＋ｒ／２，ｄ’＝ｒ／２ｔ＋ｒ／２

であるから，断面積は

　　ｓ＝３／２（ｃｃ’＋ｄｄ’）＝３ｒ／２｛ｔ（１−ｔ）＋１／２｝

　体積は

　　ｖ＝Ｈ∫(0,1)ｓｄｔ＝ｒＨ＝Ｈ／√３＝√３Ｈ／３

で与えられる．これは同じ高さの角柱の体積√３Ｈ／４の４／３倍である．

　ｂ＝ａならばｖ＝√２／３となって，正八面体の体積に一致する．

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【３】α’の体積

　黄金八面体の正三角形面間距離は，

　　ｂ＝（１＋τ^2）^1/2／２≒０．９５１０５７

とおいて，

　　Ｈ＝｛（１＋τ^2）／４−１／３｝^1/2＝（３＋√５）／４√３

ですから，立方格子の１辺の長さは

　　（３＋√５）／３＋２Ｈ／√３＝（３＋√５）／２＝τ^2

　黄金八面体の体積は

　　Ｈ／√３

したがって，α’３個分の体積は

　　３Ｖ＝（３＋√５）^3／２^3−（１５＋５√５）／６−８Ｈ／√３

　　　　＝（３＋√５）^3／８−（１５＋５√５）／６−（６＋２√５）／３

　　　　＝（９＋５√５）／２

となります．

　　　　　体積

α’　　ａ^3（９＋５√５）／６

　したがって，空間充填における３種類の立体（α’・黄金八面体・正二十面体）の体積比は

　　（９＋５√５）／２：（６＋２√５）／３：（１５＋５√５）／６

こののように，正八面体よりも黄金八面体のほうが簡単な値になることがわかります．

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