素数が無限に存在すること・√２が無理数であることはギリシア数学のなかでも有名な定理です．それぞれユークリッドとピタゴラスが背理法を用いて証明しています．√２は２つの整数の比ｐ／ｑではないので，√２＝ｐ／ｑすなわちｐ^2＝２ｑ^2になるような２つの整数ｐ，ｑを見つけることはできません．一般に，ｎが平方数でなければ√ｎは無理数です．今回のコラムでは背理法を使って，無理数性を証明してみることにします．

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【１】ｎが平方数でなければ√ｎは無理数である

　√ｎが有理数であるとし，√ｎ＝ｐ／ｑとおくと，

　　ｐ^2＝ｎｑ^2

が成り立つ．素因数分解ｐ＝ｐ1ｐ2・・・ｐr，ｑ＝ｑ1ｑ2・・・ｑs，ｎ＝ｎ1^i1ｎ2^i2・・・ｎk^ik　　（ｐ1≦・・・≦ｐr，ｑ1≦・・・≦ｑs，ｎ1＜・・・＜ｎk）を代入すれば

　　ｐ1^2ｐ2^2・・・ｐr^2＝ｎ1^i1ｎ2^i2・・・ｎk^ikｑ1^2ｑ2^2・・・ｑs^2

　ｎは平方数ではないから，ｉ1，・・・，ｉkのうち少なくともひとつは奇数，そこでｉlが奇数であるとする．しかし，ｐ1^2ｐ2^2・・・ｐr^2とｑ1^2ｑ2^2・・・ｑs^2に現れるｎlの個数は０または偶数であるから，素因数分解の一意性に矛盾する．

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【２】3√２＝２^1/3は無理数である

　　3√２＝ｐ／ｑ　　　（ｐ，ｑは公約数をもたない）

と書けるとすると，

　　ｐ^3＝２ｑ^3　→　ｐは偶数でなければならない

ｐ＝２ｋと書けるとすると，

　　８ｋ^3＝２ｑ^3　→　４ｋ^3＝ｑ^3　→　ｑは偶数でなければならない

　ｐ，ｑは公約数２をももつことになり矛盾．よって，3√２は無理数である．

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【３】4√５＝５^1/4は無理数である

　√５が無理数であることは既知とする．

　　（4√５）^2＝√５

より，もし4√５が有理数ならば，√５は有理数となるので矛盾．

　無理数の有理数倍，無理数の逆数は無理数であるから

　　５^3/4＝５／５^1/4　→　無理数

　　５^5/4＝５・５^1/4　→　無理数

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【４】φ＝（１＋√５）／２＝２ｃｏｓ３６°は無理数である

　ｘは無理数，ａ，ｂ，ｃ，ｄは有理数とする．このとき

　　ｙ＝（ａｘ＋ｂ）／（ｃｘ＋ｄ）

は無理数である．なぜなら．ｙが有理数ならば

　　ｘ＝（ｄｙ−ｂ）／（ａ−ｃｙ）

は有理数となり矛盾が生じる．これよりφは無理数である．

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【５】ｌｏｇ10２は無理数である

　有理数，したがって

　　ｌｏｇ10２＝ｐ／ｑ

と書けると仮定すると

　　ｑｌｏｇ10２＝ｐ→２^q＝１０^p＝２^p・５^p

同じ数について２通りの素因数分解ができることになり矛盾．

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【６】ディオファントス近似の近似精度

　連続する２つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1とすると，それらのうち一方は

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／２ｂ^2を満たす．

（証）α−ａn／ｂn，α−ａn+1／ｂn+1は反対符号で，ａnｂn+1−ａn+1ｂn＝（−１）^(n+1)であるから

　　｜α−ａn／ｂn｜＋｜α−ａn+1／ｂn+1｜

　＝｜ａn／ｂn−ａn+1／ｂn+1｜

　＝１／ｂnｂn+1

任意の実数α，βに対してαβ＜（α^2＋β^2）／２であるから

　　１／ｂnｂn+1＜１／（２ｂn^2）＋１／（２ｂn+1^2）

これより題意の結果が得られる．

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

　連続する３つの近似分数をａn／ｂn，ａn+1／ｂn+1，ａn+2／ｂn+2とすると，それらのうち少なくともひとつは

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2

を満たす．

　この結果から

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√５ｂ^2を満たす有理数ａ／ｂは無限に多く存在するを証明することができる．この定数√５は最良のもので，これより大きな数に置き換えることはできないが，黄金比φのようにαの連分数展開が有限個を除いてすべて１になる無理数を除外すれば，√５の代わりに√８を用いても成り立つ．

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√８ｂ^2

（補）実数ｘ，ｙ，整数ａ，ｂ，ｃ，ｄについて，

　　ｙ＝（ａｘ＋ｂ）／（ｃｘ＋ｄ），ａｄ−ｂｃ＝±１

を満たすものが存在するとき，ｙはｘと対等であるという．黄金比φあるいはφと対等な数の場合√５，対等でないなら√８である．

　次に問題になるのは√２のようなαの連分数展開が有限個を除いてすべて２になる無理数で，それを除くと定理を

　　｜α−ａ／ｂ｜＜１／√（２２１／２５）ｂ^2

に改良できる．

　同様の改良を続けていったときの定数√５，√８，√（２２１／２５），・・・がラグランジュ数である．それらは

　　√（９−４／ｍ^2）

において，それぞれｍ＝１，２，５とおいたものである．

　　ｍ＝１，２，５，１３，２９，３４，８９，１６９，１９４，２３３，４３３，６１０，９８５，・・・

はマルコフ数と呼ばれる．マルコフ数は２次のディオファントス方程式

　　ｘ^2＋ｙ^2＋ｚ^2＝３ｘｙｚ

の解として現れる．大いに興味をかき立ててきたディオファントス方程式である．

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