非特異３次曲線がでてきたついでに，楕円曲線

　　ｙ^2＝ｘ^3＋ａｘ＋ｂ

の群構造についてみておきたい．

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　楕円曲線上の点Ａ（ｘ1，ｙ1），Ｂ（ｘ2，ｙ2）を結ぶ直線ともとの楕円曲線との交点（ｘ3，−ｙ3）のｘ軸について対称な点Ｃ（ｘ3，ｙ3）をＡ＋Ｂと定義する．

［１］加法公式

　　ｘ3＝｛（ｙ2−ｙ1）／（ｘ2−ｘ1）｝^2−ｘ1−ｘ2

　　ｙ3＝｛（ｙ2−ｙ1）／（ｘ2−ｘ1）｝（ｘ1−ｘ3）−ｙ1

［２］Ａ＝Ｂのとき，倍角公式（Ｃ＝２Ａ）

　　ｘ3＝｛（３ｘ1^2＋ａ）／２ｙ1｝^2−２ｘ1

＝（ｘ1^4−２ａｘ1^2−８ｂｘ1＋ａ^2）／４（ｘ1^3＋ａｘ1＋ｂ）

　　ｙ3＝｛（３ｘ1^2＋ａ）／２ｙ1｝（ｘ1−ｘ3）−ｙ1

　加法公式とは違って，倍角公式は楕円曲線の係数に依存する．

［３］Ｐ（ｘ，ｙ）の逆元は−Ｐ（ｘ，−ｙ）となる．

Ｐ（ｘ1，ｙ1），Ｑ（ｘ2，ｙ2）とすると，Ｐ−Ｑ＝Ｐ＋（−Ｑ）であるから，

　　ｘ3＝｛（−ｙ2−ｙ1）／（ｘ2−ｘ1）｝^2−ｘ1−ｘ2

　　ｙ3＝｛（−ｙ2−ｙ1）／（ｘ2−ｘ1）｝（ｘ1−ｘ3）−ｙ1

［４］３Ｐは２Ｐ＋Ｐ，ｋＰは（ｋ−１）Ｐ＋Ｐとして求めることができる．

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