（その１）ではＮ91・立方体・正十二面体の３種類の立体で空間充填することが可能であることを紹介した．すべての面が正多角形面の空間充填は知られているもの以外は無理といわれ，まったく信じてもらえなかったが，そのような空間充填形は実在するのである．

　また，（その３）では正２０面体の間に正八面体を挟んでできる紙模型を紹介したが，これは３種類あるコクセター・ペトリー立体の変種となる無限多面体と考えることができる．

　ところで，Ｎ91・立方体・正十二面体の３種類の立体による空間充填の双対に相当するのが，α・正八面体・正二十面体による空間充填である．今回のコラムでは，正八面体と正二十面体を集めたこの３角形面のみによるスポンジ型無限多面体の隙間を埋める正多角形体αの体積を求めてみることにする．

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【１】構成比

　正８面体で正２０面体をつなぐことができる．このとき，正２０面体を結ぶ方向は３回対称軸［１，１，１］に対応する．ポリドロンによる部分模型を掲げる．

　３種類の立体の配置は，正２０面体を立方格子の体心においた場合，８つの頂点に正２０面体，体心と頂点をつなぐ位置に正八面体，６つの面心あるいは１２の辺心にαである．このことからα・正八面体・正二十面体の構成比は３：８：２となることがわかる．

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【２】体積比

　各正多面体の１辺の長さをａとして，正多面体の体積を記すと

　　　　　　　　体積

正四面体　　　　ａ^3√２／１２

正六面体　　　　ａ^3

正八面体　　　　ａ^3√２／３

正１２面体　　　ａ^3（１５＋７√５）／４

正２０面体　　　ａ^3（１５＋５√５）／１２

　正２０面体の場合，もとの立方体の１辺の長さを２，もとの立方体表面に残る１本の稜の長さを２ｄ（０≦ｄ≦１）とすると，

　　ｄ＝（√５−１）／２，ａ＝２ｄ＝√５−１

　　Ｖ20＝ａ^3（１５＋５√５）／１２

また，正八面体の体積はＶ8＝ａ^3√２／３となります．

　１辺の長さが１のとき正２０面体の面間距離は

　　　（３＋√５）／２√３

正８面体の面間距離は

　　　√２／√３

であるから，立方格子の１辺の長さは

　　　（３＋√５＋２√２）／３

　したがって，α３個分の体積は

　　３Ｖ＝（３＋√５＋２√２）^3／３^3−２Ｖ20−８Ｖ8

　　　　＝（１５３＋５６√２＋６７√５＋７２√１０）／５４

となります．

　　　　　体積

α　　　ａ^3（１５３＋５６√２＋６７√５＋７２√１０）／１６２

　したがって，空間充填における３種類の立体（α・正八面体・正二十面体）の体積比は

　　（１５３＋５６√２＋６７√５＋７２√１０）／５４：（８√２）／３：：（１５＋５√５）／６

になることがわかります．

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