２種類の立体による代表的な空間充填立体というと

［１］正四面体＋正八面体

［２］立方八面体＋正八面体

　正四面体と正八面体の基本単体を糊付けすると，立方体の２４等分体ができる．ここでは，立方八面体と正八面体の場合について調べてみたい．

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　原正八面体の頂点座標を（１，０，０），（０，１，０），（０，０，１）にとり，第１象限だけを考える．

　　原点（０，０，０）

　　１次元面の中心（１／２，１／２，０）

　　２次元面の中心（１／３，１／３，１／３）

切頂により，

　　（１／２，０，０）

　　（１／２，０，１／２）

が加わる．

　これを等分すると，立方八面体の頂点座標は

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１／２，１／２，０）

　　Ｐ2（１／３，１／３，１／３）

　　Ｐ3（１／２，１／４，１／４）

Ｐ1Ｐ2Ｐ3面に正八面体の基本単体が糊付けされることになる．

　正八面体の基本単体は

　　１，１／√３，√（２／３）

である．１に相当するのがＰ1Ｐ3^2＝１／８であるから，Ｐ0Ｐ2の延長線上に長さ√（２／３）・√（１／８）＝１／√１２の点Ｐ4を設ける．原点からの距離は

　　１／√３＋１／√１２＝３／√１２＝α

　　α／√３＝１／２

　求める基本単体は

　　Ｐ0（０，０，０）

　　Ｐ1（１／２，１／２，０）

　　Ｐ4（１／２，０，０）

　　Ｐ5（１／２，１／２，１／２）

　　Ｐ0Ｐ1^2＝１／２，Ｐ0Ｐ4^2＝１／４，Ｐ0Ｐ5^2＝３／４

　　Ｐ1Ｐ4^2＝１／４，Ｐ1Ｐ5^2＝１／４

　　Ｐ4Ｐ4^2＝１／２

　この四面体の辺の長さは

　　√２，１，√３，１，１，√２

４面は直角三角形である．

　これは（１，１，１）で立方体の基本単体と等しい．

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