ヘロンの公式は

　２^2（２！）^2Ｓ^2＝｜０，ｄ01^2，ｄ02^2，１｜

　　　　　　　　　　　｜ｄ10^2，０，ｄ12^2，１｜

　　　　　　　　　　　｜ｄ20^2，ｄ21^2，０，１｜

　　　　　　　　　　　｜１　　，　　１，１，０｜

でよいだろうか？

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　　｜０，　ａ^2，ｂ^2，１｜

　　｜ａ^2，０，　ｃ^2，１｜

　　｜ｂ^2，ｃ^2，０，　１｜

　　｜１，　１，　１，　０｜

を第１行について展開すると

　　　｜ａ^2，ｃ^2，１｜　　　｜ａ^2，０，　１｜　｜ａ^2，０，　ｃ^2｜

－ａ^2｜ｂ^2，０，　１｜＋ｂ^2｜ｂ^2，ｃ^2，１｜－｜ｂ^2，ｃ^2，０　｜

　　　｜１，　１，　０｜　　　｜１，　１，　０｜　｜１，　１，　１　｜

＝－ａ^2（ｂ^2＋ｃ^2－ａ^2）＋ｂ^2（－ａ^2＋ｂ^2－ｃ^2）－ａ^2ｃ^2－ｂ^2ｃ^2＋ｃ^4

＝－ａ^2（ｂ^2＋ｃ^2）＋ｂ^2（－ａ^2－ｃ^2）－ａ^2ｃ^2－ｂ^2ｃ^2＋ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4

＝－２ａ^2ｂ^2－２ｂ^2ｃ^2－２ｃ^2ａ^2＋ａ^4＋ｂ^4＋ｃ^4

＝ａ^4－２ａ^2（ｂ^2＋ｃ^2）＋（ｂ^2－ｃ^2）^2

＝ａ^4－２ａ^2（ｂ^2＋ｃ^2）＋（ｂ＋ｃ）^2（ｂ－ｃ）^2

＝（ａ^2－（ｂ＋ｃ）^2）（ａ^2－（ｂ－ｃ）^2）

＝（ａ＋ｂ＋ｃ）（ａ－ｂ－ｃ）（ａ＋ｂ－ｃ）（ａ－ｂ＋ｃ）

＝－（ａ＋ｂ＋ｃ）（ｂ＋ｃ－ａ）（ａ＋ｂ－ｃ）（ａ＋ｃ－ｂ）

ａ＋ｂ＋ｃ＝２ｓとおくと

＝２ｓ・２（ｓ－ａ）・２（ｓ－ｂ）・２（ｓ－ｃ）

＝１６ｓ（ｓ－ａ）（ｓ－ｂ）（ｓ－ｃ）

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［まとめ］ヘロンの公式は

　１６Ｓ^2＝｜０，ｄ01^2，ｄ02^2，１｜

　　　　　　｜ｄ10^2，０，ｄ12^2，１｜

　　　　　　｜ｄ20^2，ｄ21^2，０，１｜

　　　　　　｜１　　，　　１，１，０｜

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