■４つのパラドックス
パラドックスというとゼノンのパラドックス，とりわけアキレスとカメが有名ですが，幾何学のパラドックスといえば，すべての三角形は二等辺三角形であるとか，すべての円の周長は等しいとか，・・・があります．
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【１】アリストテレスの輪のパラドックス
大きな円と小さな円を中心を重ねて固定します．同心円となるわけですが，大きな円が直線上を１回転するとき，同心の小さな円もそれと平行な直線上を１回転します．したがって，任意の２つの円周は等しくなり，すべての円の周の長さは等しいことが証明されます．
しかし，これでは明らかにおかしく「アリストテレスの輪のパラドックス」と呼ばれます．このトリックは，大きな円は滑らないで回転するが，小さな円大きな円に引きずられながら回転していて，ある程度すべるということに気付けば解決できます．
ガリレオは２つの円を正方形のような正多角形２個で置き換えてみるとわかりやすくなることに気づきました．同心の正方形２つからなる車輪を考えると，大正方形が１回転した後に小正方形の軌道には３箇所の隙間を生じます．すなわち，小さな正方形も円（正多角形の極限）も滑りながら進んでいるというわけです．
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【２】列車のパラドックス
列車が動くとき，その列車のすべての部分が進行方向に向かって進んでいるわけではなく，車輪の一部は常に進行方向とは逆に動くというのが「列車のパラドックス」です．
車輪が回転するとき，どの部分も動いている速度は同じに思えますが，実はそうではないのです．円が直線上を滑らずに回転するとき，その円の円周上の定点が描く曲線がサイクロイドですが，円上の点Ｐが同じ時間で移動する距離は場所ごとに異なります．
点Ｐがサイクロイドの頂点にあるとき，すなわち，直線からもっとも離れた点では単位時間内に長い距離を移動するので，移動速度は最速となり，他の点より常に速く動いています．点Ｐが直線に接しているとき移動する向きが変わるため，移動速度は０になります．フリンジ（車輪のつばの部分）のように車輪の外側に置かれた定点はトロコイドを描きますから，進行方向とは逆向きに動いていることもあるのです．
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【３】バナッハ・タルスキーのパラドックス
多面体を切り貼りしても体積は変わらないのですが，曲面で囲まれた立体ということになると，もはやその常識は通用しなくなります．１９２４年，バナッハとタルスキーは，球を有限個の小片に分割し，再結合させると元と同じ大きさの２つの球を作ることを示しました．したがって，元と同じ球体を好きな個数だけ作ることができることになります．
このあまりにも奇妙な結論からパラドックスと呼ばれますが，れっきとした現代数学の定理です．数学が「無限」を扱うようになったために生ずる奇妙な定理なのですが，バナッハ・タルスキーの定理でいう球体とは物質としての球ではなく，空間中の点の集まり（集合）のことで，分割とは物質の分割ではなく，集合の分割のことです．
また，球を円に代えて，平面でもバナッハ・タルスキーの定理と同じことがいえるかというとそれはできません．２次元と３次元では事情が異なっているのですが，この奇妙さの源は「体積」という概念にあるのです．
デーンの定理やバナッハ・タルスキーのパラドックスは，平面幾何学の面積の理論には連続の公理を必要とはしないが，体積の理論を作るにはカヴァリエリの原理のような他の超越的な補助手段を採用しなければならないことを意味しています．
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［補］１９１４年，ハウスドルフは球面がＫ＝Ａ＋Ｂ＋Ｃ＋Ｑに分解される，Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｂ＋Ｃは合同，Ｑは可算集合であることを証明した．これからＡの面積は球面の面積の１／３とも１／２ともなるので矛盾する．１９５３年，シェルピンスキーは，ハウスドルフが考案した逆説を改良し，球面（と球）を有限個の小片に分割し再結合させると元と同じ大きさの２つの球面（と球）を作ることを示しました．したがって，元と同じ球体を好きな個数だけ作ることができることになります．（シェルピンスキーはハウスドルフ，バナッハ・タルスキー両方のパラドックスを改良をしたことになる．）
また，バナッハ・タルスキーの有限分解合同定理を言い換えれば，空間において面積と体積は非可測な断片に分解することによって保存されないというものです．このあまりにも奇妙な結論からパラドックスと呼ばれますが，れっきとした現代数学の定理です．数学が「無限」を扱うようになったために生ずる奇妙な定理なのですが，バナッハ・タルスキーの定理は「選択公理」を仮定しないと証明できないのです．
［補］タルスキーの問題「円板を有限個の破片に分けて，集めて同じ面積の正方形にすることができるか」は，１９９０年になっておよそ１０^50個の破片を使って可能であることがラスコヴィッチによって証明された．ある意味，円積問題（円の面積に等しい正方形を作図する）は不可能ではなかったことになる．
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【４】モ−ザーのパラドックス
ｎ次元ユークリッド空間において，１辺の長さが１の立方体[-1/2,1/2]^nをｎ次元単位立方体といいます．その体積は１ですが，もっとも離れた２頂点を結ぶ対角線の長さはｎ次元ユークリッド空間の距離の定義から
√（１^2＋１^2＋・・・＋１^2）＝√ｎ
となります．したがって，次元ｎが大きくなると対角線の長さ√ｎはどんどん大きくなり，身長１７０ｃｍの人間はおろか，ついには地球でさえ含むことができるようになります．
辺の長さが４の正方形に４つの単位円板を詰めると，４つの円板で囲まれた部分に，第５の小さな円を入れることができます．また，辺の長さが４の立方体の８つのカドに単位球を８個詰めると，中にできる隙間に第９の小さな球を入れることができます．ピタゴラスの定理によって第５の円，第９の球の半径はそれぞれ√２−１，√３−１だとわかります．
これと同じことを４次元以上の空間で行うことができます．もはやイメージすることは不可能ですが，１辺の長さが４の４次元超立方体の１６個のカドに１６個の単位球を詰めると，中の隙間には半径√４−１＝１の４次元超球（すなわち単位球）が入ります．同様に，１辺の長さが４のｎ次元超立方体の２^n個のカドに単位球を詰めると，中の隙間に半径√ｎ−１のｎ次元超球が詰められるのです．
しかし，ここの驚きが潜んでいます．たとえば，ｎ＝９の場合，中に詰められるｎ次元超球の半径は√９−１＝２であり，この球は外側の立方体の表面に接してしまい，ｎ＞９だとはみ出してしまうのです．この驚くべき結論は，日常生活ではありえないだけに面食らってしまいます．
次元とともにはみ出る部分が増えているのですが，球の詰め込みに関するこのはみ出し現象は，モーザーのパラドックスとして知られているものです．この逆説は，人間の直観や勘は３次元までの世界では働きますが，４次元以上の高次元についてはあまり働かないという例として，しばしば引き合いに出されます．
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