［１］シンプソンのパラドックス

　統計学では層別データが指示する仮説とそれらを合わせたときに指示する仮説が違っていることが違うという現象がみられることがある．この現象はシンプソンのパラドックスと呼ばれるが，このパラドックスが生ずるのは

　　ａ／ｂ＞ｃ／ｄ，ｐ／ｑ＞ｒ／ｓ

だとしても

　　（ａ＋ｐ）／（ｂ＋ｑ）＞（ｃ＋ｒ）／（ｄ＋ｓ）

とは限らないことによっている．

　ａ，ｂ，ｃ，ｄ，ｑ，ｒ，ｓを一定にして，ｐの上限，下限を求めてみると，

　　ｑｒ／ｓ＜ｐ＜（ｃ＋ｒ）（ｂ＋ｑ）／（ｄ＋ｓ）−ａ

となるが，ａ＝１，ｂ＝２，ｃ＝３，ｄ＝７，ｑ＝５，ｒ＝１，ｓ＝６

とすればｐ＝１，すなわち，

　　１／２＞３／７，１／５＞１／６

だが

　　（１＋１）／（２＋５）＝２／７＜４／１３＝（３＋１）／（７＋６）

となって，このような小集団であってもパラドックスを生じてしまうのである．

　　［参］ハヴィル「世界で最も奇妙な数学パズル」青土社

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［２］カントールのパラドックス

　どんな有限区間も不可算であることは，長さの異なる２本の線分を１：１対応がつけられることから明らかになる．Ｒのすべての有限区間は不可算で，超越曲線

　　ｆ（ｘ）＝ｔａｎπ（ｘ−１／２）

と［０，１］のＲとの１：１対応を使って確認できる．

　このことから，たとえば，ｔａｎδ＝−２のときｔａｎ（δ−π／２）は有理数であるから

　　ｆ（ｘ）＝ｔａｎπ（δ／π−１／２）

を考えれば，δ／πは無理数→ｎ≠０のときｔａｎｎδ≠０となることがわかる．

　　［参］I. Niven "Numbers, Rational and Irrational", MAA

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［３］トリチェリのラッパのパラドックス

　曲線ｙ＝１／ｘのｘ≧１の部分をｘ軸のまわりで回転させて得られるのがトリチェリのラッパである．ラッパの体積は有限であるが，表面積は無限大となる逆説的な立体として知られている．

　　Ｖ＝π∫(1,∞)（１／ｘ）^2ｄｘ＝π［−１／ｘ］(1,∞)＝π

　　Ｓ＝∫(1,∞)１／ｘ（１＋１／ｘ^4）^1/2ｄｘ＞∫(1,∞)１／ｘｄｘ＝［ｌｏｇｘ］(1,∞)＝∞

であるが，ラッパ形でなく塔形にすると調和級数に帰着され，複雑な積分計算を回避することができる．

　　Ｖ＝π∫(1,∞)（１／ｘ）^2ｄｘ＜πΣ１／ｎ^2＝π^3／６

　　Ｓ＝∫(1,∞)１／ｘ（１＋１／ｘ^4）^1/2ｄｘ＞２πΣ１／ｎ＝∞

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