ｍを平方数でない自然数とすると，いわゆるペル方程式とは
ｘ^2−ｍｙ^2＝±１（あるいは±４）
で表されるものです．コラム「連分数展開の応用」ではペル方程式の解法について説明しましたが，ペル方程式の自然数解を求めることはそれほどやさしくはありません．たとえば，
ｘ^2−１９９ｙ^2＝±１
の解を求めようと思ってもなかなか見つかりません．それもそのはずで，この最小解は
（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）
のようにとても大きなものになってしまいます．これではいくら式を眺めたところでわからないのは無理もありません．
［参］小野孝「数論序説」裳華房
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【１】ペル方程式の解法
この解を合理的に出すには，後述するように√１９９の連分数展開
√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］
を用います．９〜２８は循環節（周期２０）です．
このペル方程式は，実２次体Ｑ（√１９９）と関係しているのですが，ｘ^2−ｍ＝０の根√ｍを添加して得られる体Ｑ（√ｍ）の元は一意的に
ａ＋ｂ√ｍ
の形で表されます．そして，一般に０，１以外の平方因数をもたない整数ｍ，
−１，±２，±３，±５，±６，±７，±１０，・・・
によって，Ｑ（√ｍ）は体になります．
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【２】基本単数
まず最初に，実２次体Ｑ（√ｍ）の基本単数について説明することから始めたいと思います．Ｑ（√ｍ）を２次体とするとき，ａ＋ｂ√ｍの共役をａ−ｂ√ｍで表します（ｍ＜０ならば通常の複素共役である）．このとき，その標準底は
ω＝√ｍ ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）
ω＝（１＋√ｍ）／２ ｍ＝１（ｍｏｄ４）
で与えられます．
そして，単位元「１」の約数を単数といいます．ｍ＞０のとき，単数群は
｛±１｝×Ｃ（Ｃは乗法的巡回群）
によって与えられます．また，εをε＞１なる最小の単数とするとき，
Ｃ＝｛±ε^n｝
と表すことができ，εをＱ（√ｍ）の基本単数といいます．
実２次体の基本単数は一意に定まります．Ｑ（√ｍ）を実２次体とすると，
［ａ］ｍ＝２，３（ｍｏｄ４）のとき
基本単数を
ε＝ａ＋ｂ√ｍ
とすると
ε~＝ａ−ｂ√ｍ
εが単数←→εε~＝ａ^2−ｍｂ^2＝±１
また，
ε^n＝ａn＋ｂn√ｍ
と書くと
ε^(n+1)＝ε・ε^n＝（ａ＋ｂ√ｍ）（ａn＋ｂn√ｍ）
＝ａａn＋ｂｂnｍ＋（ａｂn＋ｂａn）√ｍ
これより
ａn+1＝ａａn＋ｂｂnｍ
ｂn+1＝ａｂn＋ｂａn
このことから０＜ａ1＜ａ2＜・・・，０＜ｂ1＜ｂ2＜・・・となるのですが，より，ａ，ｂはペル方程式：
ａ^2−ｍｂ^2＝±１
の解の中で（ａ，ｂ）が最小なものとして与えられます．ペル方程式の自明な解（ａ＝±１，ｂ＝０）には単数±１が，自明でない解のなかで絶対値｜ａ｜または｜ｂ｜が最小なものには基本単数が対応するというわけです．
Ｑ（√２），Ｑ（√３），Ｑ（√６），Ｑ（√７）の基本単数を求めると，それぞれ，
ｘ^2−２ｙ^2＝±１，複号は−１で（１，１）が最小→ε＝１＋√２
ｘ^2−３ｙ^2＝±１，複号は＋１で（２，１）が最小→ε＝２＋√３
ｘ^2−６ｙ^2＝±１，複号は＋１で（５，２）が最小→ε＝５＋２√６
ｘ^2−７ｙ^2＝±１，複号は＋１で（８，３）が最小→ε＝８＋３√７
［ｂ］ｍ＝１（ｍｏｄ４）のとき
基本単数を
ε＝（ａ＋ｂ√ｍ）／２ ａ＝ｂ（ｍｏｄ２）
と書けば
ａ^2−ｍｂ^2＝±４
となること以外は前と同様です．
Ｑ（√５），Ｑ（√１３）の基本単数を求めると，それぞれ，
ｘ^2−５ｙ^2＝±４，複号は−４で（１，１）が最小→ε＝（１＋√５）／２
ｘ^2−１３ｙ^2＝±４，複号は−４で（３，１）が最小→ε＝（３＋√１３）／２
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Ｑ（√２）ではε＝１＋√２が基本単数ですが，その他の解は
（１＋√２）^n＝ａn＋ｂn√２
とおいて
ｎ＝１：１^2−２・１^2＝−１
ｎ＝２：３^2−２・２^2＝＋１
ｎ＝３：７^2−２・５^2＝−１
ｎ＝４：１７^2−２・１２^2＝＋１
ｎ＝５：４１^2−２・２９^2＝−１
ｎ＝６：９９^2−２・７０^2＝＋１
ｎ＝７：２３９^2−２・１６９^2＝−１
ｎ＝８：５７７^2−２・４０８^2＝＋１
ｎ＝９：１３９３^2−２・９８５^2＝−１
ｎ＝10：３３６３^2−２・２３７８^2＝＋１
一般に，
ａn^2−２ｂn^2＝（−１）^n
となります．
Ｑ（√３）ではε＝２＋√３が基本単数で，
ｎ＝１：２^2−３・１^2＝＋１
ｎ＝２：７^2−３・４^2＝＋１
ｎ＝３：２６^2−３・１５^2＝＋１
ｎ＝４：９７^2−３・５６^2＝＋１
ｎ＝５：３６２^2−３・２０９^2＝＋１
ｎ＝６：１３５１^2−３・７８０^2＝＋１
ｎ＝７：５０４２^2−３・２９１１^2＝＋１
ｎ＝８：１８８１７^2−３・１０８６４^2＝＋１
ｎ＝９：７０２２６^2−３・４０５４５^2＝＋１
ｎ＝10：２６２０８７^2−３・１５１３１６^2＝＋１
一般に，ａn^2−２ｂn^2＝１でａn^2−２ｂn^2＝−１となる解は存在しません．
この２つの例からわかるように，基本単数εのノルムが−１のときには
ｘ^2−ｍｙ^2＝＋１
と
ｘ^2−ｍｙ^2＝−１
はどちらも無数の解をもちますが，εのノルムが＋１のときには解はすべて前者の解であって，後者は解をもちません．
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以下，実２次体Ｑ（√ｍ）の基本単数εを掲げますが
ｍ ペル方程式の最小解 ε ノルム
２ １^2−２・１^2＝−１ １＋√２ −１
３ ２^2−３・１^2＝＋１ ２＋√３ ＋１
５ １^2−５・１^2＝−４ （１＋√５）／２ −１
６ ５^2−６・２^2＝＋１ ５＋２√６ ＋１
７ ８^2−７・３^2＝＋１ ８＋３√７ ＋１
10 ３^2−１０・１^2＝−１ ３＋√１０ −１
11 １０^2−１１・３^2＝＋１ １０＋３√１１ ＋１
13 ３^2−１３・１^2＝−４ （３＋√１３）／２ −１
14 １５^2−１５・４^2＝＋１ １５＋４√１４ ＋１
15 ４^2−１５・１^2＝＋１ ４＋√１５ ＋１
17 ８^2−１７・２^2＝−４ ４＋√１７ −１
19 １７０^2−１９・３９^2＝＋１ １７０＋３９√１９ ＋１
21 ５^2−２１・１^2＝＋４ （５＋√１７）／２ ＋１
22 １９７^2−２２・４２^2＝＋１ １９７＋４２√２２ ＋１
23 ２４^2−２３・５^2＝＋１ ２４＋５√２３ ＋１
26 ５^2−２６・１^2＝−１ ５＋√２６ −１
29 ５^2−２９・１^2＝−４ （５＋√２９）／２ −１
30 １１^2−３０・２^2＝＋１ １１＋２√３０ ＋１
31 １５２０^2−３１・２７３^2＝＋１ １５２０＋２７３√３１ ＋１
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【３】連分数
ｍが小さいときは比較的簡単に求まりましたが，ペル方程式の自然数解を求めることはそれほどやさしくはありません．Ｑ（√１９９）を考えてみると，１９９＝３（ｍｏｄ４）の素数ですが，
ｘ^2−１９９ｙ^2＝±１
の最小解は
（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）
にもなってしまいます．
この解を求めるには√１９９の連分数展開
√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］
を用います．９〜２８は循環節（周期２０）です．
冒頭で述べたことを標準連分数の場合に書き換えますと，
α＝［ｑ1，・・・，ｑn］＝Ｐn／Ｑn
Ｐ0＝１，Ｐ1＝ｑ1，Ｐn＝ｑnＰn-1＋Ｐn-2
Ｑ0＝０，Ｑ1＝１ ，Ｑn＝ｑnＱn-1＋Ｑn-2 (n=2,3,･･･)
で
ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n (n=1,2,･･･)
ＰnＱn-2−Ｐn-2Ｑn＝（−１）^n-1ｑn (n=2,3,･･･)
が成り立ちます．
また，
α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，ｑn，ｑn+1，・・・］
の部分列［ｑn，ｑn+1，・・・］に対して
αn＝［ｑn，ｑn+1，・・・］
なる実数αnを定めると
α＝［ｑ1，・・・，ｑn-1，αn］
＝（αnＰn-1＋Ｐn-2）／（αnＱn-1＋Ｑn-2）
が証明されます．
これに循環連分数になるという性質が加わって，ペル方程式の解が得られるのですが，
√ｍ＝［ｑ1，ｑ2，・・・，ｑn，２ｑ1］ （周期ｎ）
αn+1＝［２ｑ1，ｑ2，・・・］＝√ｍ＋ｑ1
より
√ｍ＝（（√ｍ＋ｑ1）Ｐn＋Ｐn-1）／（（√ｍ＋ｑ1）Ｑn＋Ｑn-1）
ここで，
ＰnＱn-1−Ｐn-1Ｑn＝（−１）^n (n=1,2,･･･)
より，
Ｐn^2−ｍＱn^2＝（−１）^n
となり，ペル方程式の解（Ｐn，Ｑn）が得られます．
√１９９＝［１４；９，２，１，２，２，５，４，１，１，１３，１，１，４，５，２，２，１，２，９，２８，・・・］
では，ｑ1＝１４，ｑ2＝９，ｑ3＝２，・・・，ｎ＝２０ですから
Ｐ Ｑ
０ 1 0
１ 14 1
２ 127 9
３ 268 19
４ 396 28
５ 1058 75
６ 2511 178
７ 13613 965
８ 56963 4038
９ 70576 5003
10 127593 9041
11 1728583 122536
12 1856122 131577
13 3584705 254113
14 16194942 1148029
15 84559415 5994258
16 185313772 13136545
17 455186959 32267348
18 640500731 45403893
19 1736188421 123075134
20 16266196520 1153080099
となって，
（１６２６６１９６５２０，１１５３０８００９９）
が得られました．
ペル方程式は√ｍの連分数展開を用いると求められるのですが，最小解がｍと較べて非常に大きい例としては
ｍ ε ノルム
46 ２４３３５＋３５８８√４６ ＋１
94 ２１４３２９５＋２２１０６４√９４ ＋１
151 １７２８１４８０４０＋１４０６３４６９３√１５１ ＋１
193 １７６４１３２＋１２６９８５√１９３ −１
409 １１１９２１７９６９６８＋５５３４１７６６８５√４０９ −１
526 ８４０５６０９１５４６９５２９３３７７５＋３６６５０１９７５７３２４２９５５３２√５２６ ＋１
などが知られているようです．
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