［１］素数ｐの約数の和は１＋ｐである．これが平方数となるのは

　　１＋ｐ＝Ｎ^2

ｐがＮ^2−１型素数となることであるが，

　　Ｎ^2−１＝（Ｎ−１）（Ｎ＋１）

３はＮ^2−１型の唯一の素数であることから，ｐ＝３のみであることがわかる．

［２］素数ｐ^2の約数の和は１＋ｐ＋ｐ^2である．これが平方数となるのは

　　１＋ｐ＋ｐ^2＝Ｎ^2

　　１＋ｐ（ｐ＋１）＝Ｎ^2

　　Ｎ^2＝１　　（ｍｏｄｐ）

　　Ｎ^2＝１　　（ｍｏｄｐ＋１）

　　Ｎ^2−１＝（Ｎ−１）（Ｎ＋１）

　　ｐ^3＞（ｐ−１）Ｎ^2

［３］素数ｐ^3の約数の和は１＋ｐ＋ｐ^2＋ｐ^3である．これが平方数となるのは

　　１＋ｐ＋ｐ^2＋ｐ^3＝Ｎ^2

　　１＋ｐ（ｐ^2＋ｐ＋１）＝Ｎ^2

　　Ｎ^2＝１　　（ｍｏｄｐ）

　　Ｎ^2＝１　　（ｍｏｄｐ^2＋ｐ＋１）

　　Ｎ^2−１＝（Ｎ−１）（Ｎ＋１）

　　ｐ^4＞（ｐ−１）Ｎ^2

［４］素数ｐ^4の約数の和は１＋ｐ＋ｐ^2＋ｐ^3＋ｐ^4である．これが平方数となるのは

　　１＋ｐ＋ｐ^2＋ｐ^3＋ｐ^4＝Ｎ^2

　　１＋ｐ（ｐ^3＋ｐ^2＋ｐ＋１）＝Ｎ^2

　　Ｎ^2＝１　　（ｍｏｄｐ）

　　Ｎ^2＝１　　（ｍｏｄｐ^3＋ｐ^2＋ｐ＋１）

　　Ｎ^2−１＝（Ｎ−１）（Ｎ＋１）

　　ｐ^5＞（ｐ−１）Ｎ^2

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