素数ｐの約数の和は１＋ｐである．これが平方数となるのは

　　１＋ｐ＝Ｎ^2

ｐがＮ^2−１型素数となることであるが，

　　Ｎ^2−１＝（Ｎ−１）（Ｎ＋１）

３はＮ^2−１型の唯一の素数であることから，ｐ＝３のみであることがわかる．

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　 （ｐ^n+1−１）／（ｐ−１）＝Ｎ^2

　　Ｎ^2＝１　　（ｍｏｄｐ）

したがって（Ｎ−１）あるいは（Ｎ＋１）はｐで割り切れることになる．

　　１＋７＋７^2＋７^3＝２０^2→１９あるいは２１は７で割り切れる．

　　１＋３＋３^2＋３^3＋３^4＝１１^2→１０あるいは１２は３で割り切れる．

　また，

　　（ｐ^n+1−１）／（ｐ−１）＝（ｐ^n−１）／（ｐ−１）＋ｐ^n＝Ｎ^2

　　ｐ^n+1＞（ｐ−１）Ｎ^2

　　７^4＞６・２０^2，３^5＞２・１１^2

などはわかるが，

　　１＋７＋７^2＋７^3＝２０^2

　　１＋３＋３^2＋３^3＋３^4＝１１^2

の唯一性を示すにはどうしたらよいのだろうか．

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［おまけ］８１＝９^2＝１^2＋４^2＋８^2

は３つの平方数の和で表される最小の平方数である

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