Ｆn＝２^(2^n)＋１
の形の素数をフェルマー素数といいます．Ｆ0＝３，Ｆ1＝５，Ｆ2＝１７，Ｆ3＝２５７，Ｆ4＝６５５３７２５７は素数であることがわかります．
３，５，１７が素数であることは明らかですが，たとえば，２５７については√２５７＝１６．０３・・・ですから，これより小さい素数２，３，５，７，１３が２５７を割らないことを確かめればよいことになりますし，６５５３７２５７については，√６５５３７２５７＝２５６．０・・・ですから，今度は２，３，５，・・・，２３３，２３９，２４１，２５１と５５個の素数で６５５３７２５７を割らないことを確かめます．
フェルマーはこの型の数がすべて素数だと勘違いしていて必ず素数を与える式として考え出されたのですが，ｎ＝５であっけなく破綻してしまいました．
Ｆ5＝２^(2^5)＋１＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７
この間違いを発見したのはフェルマーから約１００年後のオイラーです．彼は約数６４１をたまたまあてずっぽうでみつけたのでも，２，３，５，７，・・・と割っていって執念で見つけたのでもありません．オイラーはＦnが合成数であるならば，それはあるｋに対してｋ２^(n+2)＋１であることを知っていて，Ｆ5の中の因数６４１＝５・２^7＋１を見つけたのです（１７３２年）．今回のコラムではオイラーの方法を振り返ってみることにします．
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【１】オイラー独自の理論的裏付け
ここでは，
ｐ｜ａ^(2^n)＋１ （ｐ≠２の素数）
ならば
２^(n+1)｜ｐ−１
となることの証明をに与えておきます．
［１］２平方和定理（フェルマー・オイラーの定理）
（ａ^2＋ｂ^2）（ｃ^2＋ｄ^2）＝ｐ^2＋ｑ^2，ｐ＝ａｃ−ｂｄ，ｑ＝ａｄ＋ｂｃ
特別な素数である２を除外して，素数は４で割ると余りが１になるもの（５，１３，１７，２９，３７，４１，・・・）と３になるもの（３，７，１１，１９，２３，３１，・・・）の２種類に分けられます．このうち，４ｎ＋１の形の素数は２つの整数の平方の和として表されます．たとえば，５＝１^2＋２^2，１３＝２^2＋３^2，１７＝１^2＋４^2，２９＝２^2＋５^2，・・・．しかし，４ｎ＋３の形の素数は１つもこのようには表せないのです．
この定理はフェルマーの「直角三角形の基本定理」と呼ばれ，フェルマーは無限降下法でこれを証明しましたが，その証明は不十分で，１００年後のオイラーによって完全な証明（一意性も込めた証明）がなされています．
［２］この定理を拡張する方向としては，ひとつには未知数の個数を増すこと，もうひとつには指数を大きくすることです．後者の方向に押し進めていくとkousyanohoukouniosisusumeteikuto
(1)ａ^2＋ｂ^2の奇約数はつねに４ｎ＋１の形である
(2)ａ^4＋ｂ^4の奇約数はつねに８ｎ＋１の形である
(3)ａ^8＋ｂ^8の奇約数はつねに１６ｎ＋１の形である
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(4)ａ^2^(2^m)＋ｂ^2^(2^m)の奇約数はつねに２^(m+1)ｎ＋１の形である
フェルマー数はＦn＝２^(2^n)＋１という形の数ですが，ａ＝２，ｂ＝１とおくと
(5)フェルマー数２^(2^m)＋１の奇約数はつねに２^(m+1)ｎ＋１の形である
という言明に到達します．ｍ＝５の場合，約数は６４ｎ＋１という形でしかあり得ないことになります．
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【２】オイラーとフェルマー素数
［１］を認めると
ｐ｜Ｆ5ならば２^6｜ｐ−１
すなわち，ｐ＝１＋ｋ・２^6の形でなければならないことがわかります．ｋに１〜１０まで入れると
ｋ １＋ｋ・２^6 素数
１ ６５ ×
２ １２９ ×
３ １９３ ○
４ ２５７ ○
５ ３２１ ×
６ ３８５ ×
７ ４４９ ○
８ ５１３ ×
９ ５７７ ○
１０ ６４１ ○
ここで得られた素数１９３，２５７，４４９，５７７，６４１の中から，Ｆ5＝４２９４９６７２９７を割るものを探すと６４１が最初のものであることがわかります．このことから
Ｆ5＝４２９４９６７２９７＝６４１×６７００４１７
と分解されＦ5が素数でないことが証明されます（１７３２年）．
ついでながら，６７００４１７が素数であることは次のようにしてわかります．
ｐ｜６７００４１７ → ｐ｜Ｆ5 → ｐ＝１（ｍｏｄ６４）
したがって，ｐ＝１（ｍｏｄ６４）なる素数で，√６７００４１７＝２５８８．５・・・より小さいものが，どれも６７００４１７を割らないことをみればよいことになります．このような素数は１９３，２５７，・・・，１６０１，２１１３の１１個あります．
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【３】ランドリーとフェルマー素数
１８８０年，ランドリーは（８２才という高齢にもかかわらず）
Ｆ6＝２７４１７７×６７２８０４２１３１０７２１
となることを示しました．
オイラーの場合と同様に，ｋに１〜２０まで入れると
ｋ １＋ｋ・２^7 素数
１ １２９ ×
２ ２５７ ○
３ ３８５ ×
４ ５１３ ×
５ ６４１ ○
６ ７６９ ○
７ ８９７ ×
８ １０２５ ×
９ １１５３ ○
１０ １２８１ ×
１１ １４０９ ○
１２ １５３７ ×
１３ １６６５ ×
１４ １７９３ ×
１５ １９２１ ×
１６ ２０４９ ×
１７ ２１７７ ×
１８ ２３０５ ×
１９ ２４３３ ×
２０ ２５６１ ×
となります．
素数の割合は次第に小さくなりますが，
２７４１７７＝２１４２・２^7＋１ （ｋ＝２１４２）
までこのような作業を続けることは容易ではありませんし，素因数２７４１７７が決して直観でわかるものではないことも理解されます．
逆に
ｐ｜６７２８０４２１３１０７２１ → ｐ｜Ｆ6 → ｐ＝１（ｍｏｄ１２８）
より，ｐ＝１（ｍｏｄ１２８）なる素数で，√６７２８０４２１３１０７２１より小さいものが，どれも６７２８０４２１３１０７２１を割らないことをみてもよいのでしょうが，このような戦略をとったところで意味のないものになってしまうのがオチでしょう．
ランドリーがオイラーの1732年にやった方法を踏襲したとはとても思えないのですが，どうやってやったのかまったく予想がつきません．それで，ランドリーがとった戦略がいかなるものか調べてみたのですが，1880年に素因数が判明と記載されているだけで方法までは載っておらず，結局，わからずじまいでした．これについてご存知の方はぜひ教えて下さい．
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［補］フェルマー数
フェルマー数（２^(2^n)＋１）は簡単な漸化式
Ｆn＝（Ｆn-1−１）^2＋１
を満たしています．Ｆn-1^2はほぼＦnと等しくなるというわけです．
また，この式から
Ｆn−２＝Ｆn-1（Ｆn-1−１）＝・・・＝Ｆ0Ｆ1・・・Ｆn-1
言い換えれば，Ｆn−２はそれより小さいすべてのフェルマー数で割り切れることがわかります．
したがって，（Ｆn，Ｆi）＝１がすべてのｉ（０≦ｉ≦ｎ−１）にについて成り立ちます．このことは任意にｉ≠ｊをとったとき，（Ｆi，Ｆj）＝１と意味するのですが，このことから数列｛Ｆn｝を用いて，素数が無限にあることを示すことができます．
（証明）
すべてのＦiの素因数を１つずつとりｐiと呼べばｐはすべて異なるから，素数は無限にあることがわかる．
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