√２は無理数であることは，背理法で証明される．

　√２は有理数であると仮定する．

　　√２＝ｐ／ｑ（既約）　→　ｐ^2＝２ｑ^2　→　既約であることに反する

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［１］１＋√２は無理数である．

　√２は有理数であると仮定する．

　　√２＝ｐ／ｑ　→　１＋√２＝（ｐ＋ｑ）／ｑも有理数

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［２］12√２は無理数である．

　12√２＝ｐ／ｑであると仮定する．

　　12√２＝ｐ／ｑ　→　ｐ^12＝２ｑ^12　→　既約であることに反する

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［３］ｌｏｇ３／ｌｏｇ２は無理数である．

　ｌｏｇ３／ｌｏｇ２は有理数であると仮定する．

　　ｌｏｇ３／ｌｏｇ２＝ｐ／ｑ　→　２^p＝３^q　→　矛盾

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