１９６６年，ザルガラーは正多角面体（すべての面が正多角形である凸多面体）は正多面体，準正多面体を除くと９２種類存在することをコンピュータを使うことによってその証明を与えました．

　９２種類のザルガラー多面体の面は正３角形，正４角形，正５角形，正６角形，正８角形，正１０角形のいずれかなのですが，「ポリドロン」には辺の長さの等しい正３角形，正４角形，正５角形，正６角形のユニットがしかなく，正８角形，正１０角形を含むザルガラー多面体を作ることはできません．正８角形，正１０角形のユニットは大きくなりすぎるというのが開発されていない理由でしょうが，正８角形，正１０角形はザルガラー多面体の切り口としてのみ存在するというのも理由のひとつでしょう．

　ところで，どうして９２種類，正１０角形までしかないのでしょうか？　コンピュータによりしらみつぶしに探索されたといってしまえばそれまでですが，釈然としないものが残りますし，そのあたりが数学を素人から遠ざけている理由なのかもしれません．

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【１】９３番目のジョンソン・ザルガラー多面体？

　ザルガラーの証明では凹面や曲面を排除するのがいかに大変だったかが容易に推測されます．たとえば，中川宏さん考案の多面体の場合を見ていくことにしましょう．

［１］正面

［２］側面

［３］上面

［４］底面

　底から第１層（青），第２層（黄），第３層（赤），第４層（緑）としますが，

　　第１層　　　３^12４^1

　　第２層　　　３^8５^6

　　第３層　　　３^18

　　第４層　　　３^4５^2

　　　計　　　　３^42４^1５^8

の多面体について，これが凸多面体なのか凹面や曲面をもつ多面体なのかを示すことは決してやさしくありません．

　模型はいくぶんゆがんだ形になりますし，第１層と第３層の正三角形からなる帯の部分は関節の自由度が大きく，多少の変形を緩衝することができるからです．この多面体が詐欺多面体だとすると，第３層にある２つの正三角形の間の二面角が平角になっているのではないかと思われますが，それを証明することができません．

　読者はまずこのモデルを構成してみるとよいでしょう．「ポリドロン」は東京書籍がその取り扱い店となっています．

　　連絡先：tel:03-5390-7513,fax:03-5390-7409（大山茂樹）

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