［Ｑ］縦横が整数比（ｍ：ｎ）の長方形のビリヤード台がある．１つの隅（０，０）から球を４５°の角度で打ち出すと，何回か跳ね返ってから４隅のうちの１つに達する．このときの経路長は？

［Ａ］この問題に対する基本的な考え方は，球を反射させる代わりに，ビリヤード台の鏡像を枠の外に作ってやるというものである．すなわち，軌道自体を折り曲げる代わりに衝突するたびに衝突した辺を軸に，ビリラード台自身をひっくり返すのである．

　このような図形を鏡像群と呼べば，鏡像群を貫く直線がビリヤード球の軌跡に対応し，球の折れ線の路は直線で置き換えられる．

　球の経路長はｍ，ｎの最小公倍数となることがわかる．たとえば（ｍ，ｎ）＝（６，９）の場合の経路長は１８である．

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　一般の長方形ビリヤードの周期性について考えると，長方形ビリヤードが周期的になるための条件は軌道方向（ｔａｎθ）が有理数であることである．軌道方向が無理数の場合，軌道は非周期的となり，軌道が領域を稠密に埋め尽くす（エルゴード的）．それに対し，周期軌道では軌道が領域を埋め尽くすことはない．軌道は無数に考えられるが，非周期軌道は周期軌道よりも圧倒的に多数を占めるのである．

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