［Ｑ］縦横が整数比（ｍ：ｎ）の長方形のビリヤード台がある．１つの隅（０，０）から球を４５°の角度で打ち出すと，何回か跳ね返ってから４隅のうちの１つに達する．このとき跳ね返る回数は？

［Ａ］この問題に対する基本的な考え方は，球を反射させる代わりに，ビリヤード台の鏡像を枠の外に作ってやるというものである．すなわち，軌道自体を折り曲げる代わりに衝突するたびに衝突した辺を軸に，ビリラード台自身をひっくり返すのである．

　このような図形を鏡像群と呼べば，鏡像群を貫く直線がビリヤード球の軌跡に対応し，球の折れ線の路は直線で置き換えられる．

　球の経路を求める際に直角二等辺三角形ができるためには，ビリヤード台の縦横の整数比（ｍ：ｎ）＝（ｋｐ：ｋｑ）を既約（ｐ：ｑ），ｋは最大公約数とすると縦方向にｑ−１回，横方向にｐ−１回折り返せばよいので，葉年帰る回数はｐ＋ｑ−２回となる．

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［Ｑ］縦横が整数比（ｍ：ｎ）の長方形のビリヤード台がある．１つの隅（０，０）から球を４５°の角度で打ち出すと，何回か跳ね返ってから４隅のうちの１つに達する．このとき，どこの隅（０，０），（ｍ，０），（０，ｎ），（ｍ，ｎ）で終わるのだろうか？

［Ａ］球は（ｘ，ｙ）座標の和ｘ＋ｙが偶数の格子点だけを通るから，

ｍが奇数，ｎが奇数のとき（ｍ，ｎ）で終わる．

ｍが偶数，ｎが奇数のとき（ｍ，０）で終わる．

ｍが奇数，ｎが偶数のとき（０，ｎ）で終わる．

ｍが偶数，ｎが偶数のときは（ｍ：ｎ）＝（ｋｐ：ｋｑ），（ｐ：ｑ）既約，ｋは２^k型の最大の公約数として，上の３つの場合のとれかに帰着される．

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［まとめ］球はもっとも偶数性の高い隅で終わることになる．たとえば（ｍ，ｎ）＝（４４，９６）の場合，（４×１１，４×２４）であるから，跳ね返る線は（０，９６）で終わることになる．

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