ｘ≧０に対して，

　　１＋ｘ≦ｅｘｐ（ｘ）

が成り立つ．ｅはこの不等式は成り立つ最小の底である．

　　１＋ｘ≦ａ^x

が成り立つためには，ｘ＝０における接線の傾きは１以上でなければならない．

　　１≦ａ^xｌｏｇａ｜x=0

　したがって，ａはｅ以上でなければならない．２＜ｅ＜３であるが，２ではいけないのである．

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［Ｑ］同じ部屋にいる人のうち，自分と同じ誕生日のひとがいるためには，その部屋には少なくとも何人いればよいか？

　１年をｎ日，部屋の中にはｋ人いるとする．

　　ｑ＝１／ｎ^k・Π（ｎ−ｉ）＝Π（１−１／ｎ）＝（１−１／ｎ）^k

　ここで，ｘ≧０に対して，

　　１＋ｘ≦ｅｘｐ（ｘ）

が成り立つことより，

　　ｑ≦Πｅｘｐ（−１／ｎ）＝ｅｘｐ（−ｋ／ｎ）

　したがって，

　　ｋ≧ｎｌｏｇ２

であれば，ｐ＝１−ｑ≧１／２

［Ａ］ｋ＝２５３であればよい．

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［まとめ］

　　ｋ≧ｎｌｏｇ２＝０．６９３１４７ｎ〜０．７ｎ

であるから，一般にｋ＞ｎ／２よりかなり多くの人がいなければならないことがわかる．

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