辺の長さ２Ｌの等辺五角形は平面五角形ではなく，空間五角形であるに違いない．

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　たとえば，Ａ回りの平面とＣ回りの平面の法線ベクトルを求めてみると

［１］頂点Ａにおいて

　　（０，−２Ｌ，０），（−ｘ／２，ｘ／２−Ｌ，−Ｄ）

　　｜ｉ　　　，ｊ　　　　，　ｋ｜

　　｜０　　　，−２Ｌ　　，　０｜

　　｜−ｘ／２，ｘ／２−Ｌ，−Ｄ｜

＝２ＬＤｉ−ｘＬｋ

［３］頂点Ｃにおいて

　　（ｘ／２−Ｌ，ｘ／２，Ｄ），（ｘ／２−Ｌ，−ｘ／２，Ｄ）

　　｜ｉ　　　　，　　　ｊ，ｋ｜

　　｜ｘ／２−Ｌ，ｘ／２　，Ｄ｜

　　｜ｘ／２−Ｌ，−ｘ／２，Ｄ｜

＝ｘＤｉ−ｘ（ｘ／２−Ｌ）ｋ

これが等しくなるためには

　　２ＬＤ＝ｘＤ→２Ｌ＝ｘ

　　ｘＬ＝ｘ（ｘ／２−Ｌ）→Ｌ＝ｘ／２−Ｌ→ｘ＝２Ｌ

［４］頂点Ｄにおいて

　　（ｘ／２，Ｌ−ｘ／２，Ｄ），（Ｌ−ｘ／２，−ｘ／２，−Ｄ）

　　｜ｉ　　　　，　　　　ｊ，ｋ｜

　　｜ｘ／２　　，Ｌ−ｘ／２，Ｄ｜

　　｜Ｌ−ｘ／２，　−ｘ／２，−Ｄ｜

ｘ＝２Ｌだとすると，

　　｜ｉ　，　ｊ，　ｋ｜

　　｜Ｌ　，　０，　Ｄ｜

　　｜０　，−Ｌ，−Ｄ｜

＝ＬＤｉ＋ＬＤｊ＋Ｌ^2ｋ

　これは［１］［３］と等しくならないので，平面五角形でないことが証明されたことになる．

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［まとめ］ペンタグラフェンが正五角形面で構成された空間格子であるという言明は間違いである．

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