■ペンタグラフェン(その4)

 辺の長さ2Lの等辺五角形の内角がすべて108°となるための条件を求めてみたい.これが可能であれば,この等辺五角形は(空間五角形ではなく)正五角形であるに違いない.

  (x/2)^2+(x/2-L)^2+D^2=4L^2

===================================

[1]頂点Aにおいて

  (0,-2L,0),(-x/2,x/2-L,-D)

  -2L(x/2-L)=4L^2cosθ

[2]頂点Bにおいて

  (x/2,-x/2+L,-D),(-x/2,-x/2+L,-D)

  -(x/2)^2+(x/2-L)^2+D^2=4L^2cosθ

[3]頂点Cにおいて

  (x/2-L,x/2,D),(x/2-L,-x/2,D)

  -(x/2)^2+(x/2-L)^2+D^2=4L^2cosθ

  (-2L,0,0),(x/2-L,-x/2,D)

  -2L(x/2-L)=4L^2cosθ

[4]頂点Dにおいて

  (x/2,L-x/2,D),(L-x/2,-x/2,-D)

  -D^2=4L^2cosθ

  (-x/2,x/2-L,D),(L-x/2,-x/2,-D)

  -D^2=4L^2cosθ

===================================

  -D^2=4L^2cosθ

  (x/2)^2+(x/2-L)^2+D^2=4L^2

に代入すると

  (x/2)^2+(x/2-L)^2=4L^2+4L^2cosθ

  -(x/2)^2+(x/2-L)^2+D^2=4L^2cosθ

に代入すると

  -(x/2)^2+(x/2-L)^2=8L^2cosθ

 これより,

  (x/2)^2=2L^2-2L^2cosθ=4L^2sin^2(θ/2)

  (x/2-L)^2=2L^2+6L^2cosθ

 また,

  -2L(x/2-L)=4L^2cosθ

  (x/2-L)=-2Lcosθ

  (x/2-L)^2=4L^2cos^2θ

より,

  2L^2+6L^2cosθ=4L^2cos^2θ

  1+3cosθ=2cos^2θ

 しかし,

  cosθ=cos(90°+18°)=-sin18°

  1-3(√5-1)/4=2(10+2√5)/16

は成り立たない.辺の長さ2Lの等辺五角形は平面五角形ではなく,空間五角形であるに違いない.

===================================