辺の長さ２Ｌの等辺五角形の内角がすべて１０８°となるための条件を求めてみたい．これが可能であれば，この等辺五角形は（空間五角形ではなく）正五角形であるに違いない．

　　（ｘ／２）^2＋（ｘ／２－Ｌ）^2＋Ｄ^2＝４Ｌ^2

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［１］頂点Ａにおいて

　　（０，－２Ｌ，０），（－ｘ／２，ｘ／２－Ｌ，－Ｄ）

　　－２Ｌ（ｘ／２－Ｌ）＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

［２］頂点Ｂにおいて

　　（ｘ／２，－ｘ／２＋Ｌ，－Ｄ），（－ｘ／２，－ｘ／２＋Ｌ，－Ｄ）

　　－（ｘ／２）^2＋（ｘ／２－Ｌ）^2＋Ｄ^2＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

［３］頂点Ｃにおいて

　　（ｘ／２－Ｌ，ｘ／２，Ｄ），（ｘ／２－Ｌ，－ｘ／２，Ｄ）

　　－（ｘ／２）^2＋（ｘ／２－Ｌ）^2＋Ｄ^2＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

　　（－２Ｌ，０，０），（ｘ／２－Ｌ，－ｘ／２，Ｄ）

　　－２Ｌ（ｘ／２－Ｌ）＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

［４］頂点Ｄにおいて

　　（ｘ／２，Ｌ－ｘ／２，Ｄ），（Ｌ－ｘ／２，－ｘ／２，－Ｄ）

　　－Ｄ^2＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

　　（－ｘ／２，ｘ／２－Ｌ，Ｄ），（Ｌ－ｘ／２，－ｘ／２，－Ｄ）

　　－Ｄ^2＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

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　　－Ｄ^2＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

を

　　（ｘ／２）^2＋（ｘ／２－Ｌ）^2＋Ｄ^2＝４Ｌ^2

に代入すると

　　（ｘ／２）^2＋（ｘ／２－Ｌ）^2＝４Ｌ^2＋４Ｌ^2ｃｏｓθ

　　－（ｘ／２）^2＋（ｘ／２－Ｌ）^2＋Ｄ^2＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

に代入すると

　　－（ｘ／２）^2＋（ｘ／２－Ｌ）^2＝８Ｌ^2ｃｏｓθ

　これより，

　　（ｘ／２）^2＝２Ｌ^2－２Ｌ^2ｃｏｓθ＝４Ｌ^2ｓｉｎ^2（θ／２）

　　（ｘ／２－Ｌ）^2＝２Ｌ^2＋６Ｌ^2ｃｏｓθ

　また，

　　－２Ｌ（ｘ／２－Ｌ）＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

　　（ｘ／２－Ｌ）＝－２Ｌｃｏｓθ

　　（ｘ／２－Ｌ）^2＝４Ｌ^2ｃｏｓ^2θ

より，

　　２Ｌ^2＋６Ｌ^2ｃｏｓθ＝４Ｌ^2ｃｏｓ^2θ

　　１＋３ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ^2θ

　しかし，

　　ｃｏｓθ＝ｃｏｓ（９０°＋１８°）＝－ｓｉｎ１８°

　　１－３（√５－１）／４＝２（１０＋２√５）／１６

は成り立たない．辺の長さ２Ｌの等辺五角形は平面五角形ではなく，空間五角形であるに違いない．

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