辺の長さ２Ｌの等辺五角形の内角がすべて１０８°となるための条件を求めてみたい．これが可能であれば，この等辺五角形は（空間五角形ではなく）正五角形であるに違いない．

　　（ｘ／２）^2＋（ｘ／２−Ｌ）^2＋Ｄ^2＝４Ｌ^2

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［１］頂点Ａにおいて

　　（０，−２Ｌ，０），（−ｘ／２，ｘ／２−Ｌ，−Ｄ）

　　−２Ｌ（ｘ／２−Ｌ）＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

［２］頂点Ｂにおいて

　　（ｘ／２，−ｘ／２＋Ｌ，−Ｄ），（−ｘ／２，−ｘ／２＋Ｌ，−Ｄ）

　　−（ｘ／２）^2＋（ｘ／２−Ｌ）^2＋Ｄ^2＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

［３］頂点Ｃにおいて

　　（ｘ／２−Ｌ，ｘ／２，Ｄ），（ｘ／２−Ｌ，−ｘ／２，Ｄ）

　　−（ｘ／２）^2＋（ｘ／２−Ｌ）^2＋Ｄ^2＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

　　（−２Ｌ，０，０），（ｘ／２−Ｌ，−ｘ／２，Ｄ）

　　−２Ｌ（ｘ／２−Ｌ）＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

［４］頂点Ｄにおいて

　　（ｘ／２，Ｌ−ｘ／２，Ｄ），（Ｌ−ｘ／２，−ｘ／２，−Ｄ）

　　−Ｄ^2＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

　　（−ｘ／２，ｘ／２−Ｌ，Ｄ），（Ｌ−ｘ／２，−ｘ／２，−Ｄ）

　　−Ｄ^2＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

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　　−Ｄ^2＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

を

　　（ｘ／２）^2＋（ｘ／２−Ｌ）^2＋Ｄ^2＝４Ｌ^2

に代入すると

　　（ｘ／２）^2＋（ｘ／２−Ｌ）^2＝４Ｌ^2＋４Ｌ^2ｃｏｓθ

　　−（ｘ／２）^2＋（ｘ／２−Ｌ）^2＋Ｄ^2＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

に代入すると

　　−（ｘ／２）^2＋（ｘ／２−Ｌ）^2＝８Ｌ^2ｃｏｓθ

　これより，

　　（ｘ／２）^2＝２Ｌ^2−２Ｌ^2ｃｏｓθ＝４Ｌ^2ｓｉｎ^2（θ／２）

　　（ｘ／２−Ｌ）^2＝２Ｌ^2＋６Ｌ^2ｃｏｓθ

　また，

　　−２Ｌ（ｘ／２−Ｌ）＝４Ｌ^2ｃｏｓθ

　　（ｘ／２−Ｌ）＝−２Ｌｃｏｓθ

　　（ｘ／２−Ｌ）^2＝４Ｌ^2ｃｏｓ^2θ

より，

　　２Ｌ^2＋６Ｌ^2ｃｏｓθ＝４Ｌ^2ｃｏｓ^2θ

　　１＋３ｃｏｓθ＝２ｃｏｓ^2θ

　しかし，

　　ｃｏｓθ＝ｃｏｓ（９０°＋１８°）＝−ｓｉｎ１８°

　　１−３（√５−１）／４＝２（１０＋２√５）／１６

は成り立たない．辺の長さ２Ｌの等辺五角形は平面五角形ではなく，空間五角形であるに違いない．

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