辺の長さ2Lの等辺五角形の内角がすべて108°となるための条件を求めてみたい.これが可能であれば,この等辺五角形は(空間五角形ではなく)正五角形であるに違いない.
(x/2)^2+(x/2-L)^2+D^2=4L^2
===================================
[1]頂点Aにおいて
(0,-2L,0),(-x/2,x/2-L,-D)
-2L(x/2-L)=4L^2cosθ
[2]頂点Bにおいて
(x/2,-x/2+L,-D),(-x/2,-x/2+L,-D)
-(x/2)^2+(x/2-L)^2+D^2=4L^2cosθ
[3]頂点Cにおいて
(x/2-L,x/2,D),(x/2-L,-x/2,D)
-(x/2)^2+(x/2-L)^2+D^2=4L^2cosθ
(-2L,0,0),(x/2-L,-x/2,D)
-2L(x/2-L)=4L^2cosθ
[4]頂点Dにおいて
(x/2,L-x/2,D),(L-x/2,-x/2,-D)
-D^2=4L^2cosθ
(-x/2,x/2-L,D),(L-x/2,-x/2,-D)
-D^2=4L^2cosθ
===================================
-D^2=4L^2cosθ
を
(x/2)^2+(x/2-L)^2+D^2=4L^2
に代入すると
(x/2)^2+(x/2-L)^2=4L^2+4L^2cosθ
-(x/2)^2+(x/2-L)^2+D^2=4L^2cosθ
に代入すると
-(x/2)^2+(x/2-L)^2=8L^2cosθ
これより,
(x/2)^2=2L^2-2L^2cosθ=4L^2sin^2(θ/2)
(x/2-L)^2=2L^2+6L^2cosθ
また,
-2L(x/2-L)=4L^2cosθ
(x/2-L)=-2Lcosθ
(x/2-L)^2=4L^2cos^2θ
より,
2L^2+6L^2cosθ=4L^2cos^2θ
1+3cosθ=2cos^2θ
しかし,
cosθ=cos(90°+18°)=-sin18°
1-3(√5-1)/4=2(10+2√5)/16
は成り立たない.辺の長さ2Lの等辺五角形は平面五角形ではなく,空間五角形であるに違いない.
===================================