畳あるいはドミノ（１×２の長方形）によるタイル貼りを考える．１辺の長さ２の正方形の畳敷きは２個の畳を水平に置くか垂直に置くかの２通りの敷き方がある．チェス盤（１辺の長さ８）に対しては１２９８８８１６通りある．統計物理学ではドミノに相当するものが２原子分子（ダイマー模型）であり，ドミノタイル貼りは統計物理学の問題としても一役担っている．

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　２×ｎの長方形に畳を敷き詰める数はフィボナッチ数Ｆnとなる．また，３×ｎの長方形に畳を敷き詰める数は

　　Ｕ2n＝（２＋√３）^n／（３−√３）＋（２−√３）^n／（３＋√３）＝［（２＋√３）^n／（３−√３）］

でフィボナッチ数に類似している．この数は三角数Ｔn＝ｎ（ｎ＋１）／２や五角数Ｐn＝ｎ（３ｎ−２）／２にも関係しているという．

　それにに対して，

［Ｑ］ｎ畳間に畳を敷き詰める方法は何通りあるか（ｎ×２ｍの長方形の部屋にｎ×ｍ枚の畳を敷く場合の敷き方は何通りあるか）

はかなりの難問である．

　畳の敷き方数を数えあげるるにはある行列式（カステレイン行列）の固有値を計算する必要があるという．

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【１】長方形を畳で敷きつめる

　１９６１年，物理学者のカステレイン，フィッシャー，テンパレイは縦横２辺の長さが任意の偶数（２ｍ×２ｎ）の長方形の畳の敷き方数は

　　Ｋ（ｎ，ｍ）＝Π(j=1~n)Π(k=1~m)｛４ｃｏｓ^2（ｊπ／（２ｎ＋１））＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

であることを見いだした．これはフィボナッチ数列の三角関数表現の拡張である．

　この不思議な公式には興味深い性質が隠されていて，たとえば，正方形（ｍ＝ｎ）の場合には，つねに奇数の２乗を２^n倍したものになる．

　　Ｋ（０，０）＝１＝２^0

　　Ｋ（１，１）＝２＝２^1

　　Ｋ（２，２）＝３６＝２^2３^2

　　Ｋ（３，３）＝６７２８＝２^3２９^2

　　Ｋ（４，４）＝１２９８８８１６＝２^4９０１^2

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【２】カステレイン行列

　カステレインは今日「カステレイン行列」と呼ばれる行列を導入して，ダイマー模型の分配関数が線形代数適法法で扱えることを示し，正方格子上のダイマー模型に対してその計算を実行した．

　２×ｎ格子に対するカステレイン行列は，３重対角ｎ×ｎ行列

　　Ｋ＝［ａ，−ｂ，０，・・・・・・・・，０］

　　　　［ｂ，ａ，−ｂ，０，・・・・・・，０］

　　　　［０，ｂ，ａ，−ｂ，０，０，・・，０］

　　　　［０，０，ｂ，ａ，−ｂ，０，・・，０］

　　　　［・・・・・・・・・・・・・・・・・］

　　　　［０，０，・・・・・・，ｂ，ａ，−ｂ］

　　　　［０，０，・・・・・・，０，ｂ，　ａ］

になる．

　そして，Ｋの固有ベクトルを直接構成してＫを対角化し，その固有値の積として行列式を表すのであって，２ｎ×２ｍの正方格子の場合，

　　Ｋ（ｎ，ｍ）＝Π(j=1~n)Π(k=1~m)｛４ｃｏｓ^2（ｊπ／（２ｎ＋１））＋４ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

となる．

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