Electronic J Combinatorics 16.1 (2009) #R126

はまだ入手できていないので，４枚の畳が角で合わないようにという条件を取り除いた場合の敷き詰めについては，・・・

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　畳敷きの問題（ｎ×２ｍの長方形の部屋にｎ×ｍ枚の畳を敷く場合の敷き方は何通りあるか）において，ｍ＝１の場合はやさしい．

　ｎ枚の畳を鰻の寝床のように細長いｎ×２の間取りに敷くその敷き方の数は，半畳の正方形の１辺を単位として数えると，ｎを１と２に分割する組み合わせ数（ｎ段の階段を一歩で１段または２段昇ることにする昇り方の数）に一致する．

　それは

　　Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2

の関係になるから，フィボナッチ数列（初項１，第２項２）

　　１，２，３，５，８，１３，２１，３４，５５，８９，・・・

　　Ｆn＝１／√５［｛（１＋√５）／２｝^n+1−｛（１−√５）／２｝^n+1］

が現れることになる．

　細矢治夫先生によると，この問題は不思議なことに物理学の問題と深く関係しているという．物理学研究者の２つのグループが１９６１年に独立に発表した結果では，

　　Ｋ（ｎ×２ｍ）＝２^2m[(n+1)/2]Π(k=1~m)Π(l=1~[(n+1)/2]｛ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））＋ｃｏｓ^2（ｋπ／（２ｍ＋１））｝

　とくにｍ＝１のときは

　　Ｋ（ｎ×２）＝Π(l=1~[(n+1)/2]｛１＋４ｃｏｓ^2（ｌπ／（ｎ＋１））｝

という式が出てくるが，これはフィボナッチ数列の三角関数表現である．

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