今回のコラムでは，漸化式

　　ａn＝ａn-2＋ａn-3

で表される数列（パドヴァン数列）を取り上げます．

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【１】フィボナッチ数列と黄金比

　　１，１，２，３，５，８，・・・

初項１，第２項１から始まり，隣り合う２項の和が次の項となるこの数列をフィボナッチ数列とよびます．その一般項Ｆn は

　　Ｆn＝Ｆn-1＋Ｆn-2

です．フィボナッチ数列の特性方程式

　　ｘ^2−ｘ−１＝０

の２つの解より，連続する２項の比は黄金比

　　φ＝（１＋√５）／２＝１．６１８０３４・・・

に次第に近づくことになります．

　黄金長方形から正方形を取り除くと一回り小さな黄金長方形が現れてきます．このことを繰り返し行えば対数らせんが現れますが，この曲線は自然界ではオーム貝などの形にみられ，自己相似的な成長過程を表す理想的な曲線とされています．サイクロイドの伸開線はそれと合同なサイクロイドですが，対数らせんの伸開線もそれと合同な対数らせんになります．

　今度は逆に１辺の長さがフィボナッチ数列の正方形をらせん状に加えていきます．最初の２つの正方形は１辺の長さが１で，そこに１辺の長さが２の正方形，引き続いて１辺の長さが３，５，８，１３，２１，・・・．すると，優美な対数らせんが現れてきますが，このらせんはほぼ黄金比

　　φ＝（１＋√５）／２＝１．６１８０３４・・・

で外に広がることになります．

　初項２，第２項１のフィボナッチ数列

　　２，１，３，４，７，１１，１８，・・・

は彼にちなんでリュカ数列と呼ばれています（１８７７年）．

　　Ｌn＝Ｌn-1＋Ｌn-2

　リュカはフィボナッチ数列，リュカ数列を用いてメルセンヌ数（２^n−１）が素数であるかどうかを判定し，（２^127−１）が素数であることを示しています（１８７６年）．この数は１２番目のメルセンヌ素数で，１９５２年の１３番目（２^521−１）からはコンピュータによる発見ですから，コンピュータを使わずに見つけられた最大のメルセンヌ素数になっていて，わかっている最大の素数として最長不倒記録を保ち続けました．

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【２】パドヴァン数列とプラスチック比

　フィボナッチ数列では正方形をらせん状に並べましたが，ここでは正三角形をらせん状に並べてみましょう．最初の３つの正三角形は１辺の長さを１，次の２つは１辺の長さが２で，そのあとは３，４，５，７，９，１２，１６，２１，・・・．このようにしてもおおよそ対数らせんを描きます．

　数列

　　１，１，１，２，２，３，４，５，７，９，１２，１６，２１，・・・

は直前の１項を除いたその前の２項を加えたものです．漸化式は

　　Ｐn＝Ｐn-2＋Ｐn-3　　　（Ｐ0＝Ｐ1＝Ｐ2＝１）

で表されます．この各項が２つ前と３つ前の項の和で与えられる数列は，イタリアの建築家パドヴァンにちなんでパドヴァン数列と呼ばれています．

　パドヴァン数列の特性方程式

　　ｘ^3−ｘ−１＝０

の唯一の実数解より，パドヴァン数列の連続する２項の比はプラスチック比

　　ｐ＝１／３｛3√（２７／２−３√６９／２）＋3√（１／２＋√６９／１８）｝＝１．３２４７１８・・・

に次第に近づくことになります．ｐがφよりも小さいことより，パドヴァン数列はフィボナッチ数列に較べてゆっくりと増加することになります．

　　ｐ^5−ｐ^3−ｐ^2＝０

　　ｐ^4−ｐ^2−ｐ^1＝０

より

　　ｐ^5−ｐ^4−ｐ^3−ｐ^1＝ｐ^5−ｐ^4−１

ですから，３次方程式ｐ^3−ｐ−１＝０の解はこの５次方程式も満たすことがわかります．あるいは，因数分解

　　ｐ^5−ｐ^4−１＝（ｐ^3−ｐ−１）（ｐ^2−ｐ＋１）

でもよいのですが，このことから

　　Ｐn＝Ｐn-1＋Ｐn-5

の関係が成り立つこともわかります．

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