（その５）の続き．

　　ｘn+1＋√２ｙn+1＝（３＋２√２）（ｘn＋√２ｙn）

　　　　　　　　　　＝（３ｘn＋４ｙn）＋√２（２ｘn＋３ｙn）

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　　ａn+1＝３ａn＋４ｂn，ｂn+1＝２ａn＋３ｂn

　　ａn+1＝３ａn＋４ｂn＝３ａn＋４（２ａn-1＋３ｂn-1）

　＝３ａn−ａn-1＋３（３ａn-1＋４ｂn-1）＝６ａn−ａn-1

　　ｂn+1＝２ａn＋３ｂn＝２（３ａn-1＋４ｂn-1）＋３ｂn

　＝３（２ａn-1＋３ｂn-1）＋３ｂn−ｂn-1＝６ｂn−２ｂn-1

より

　　ａn+1＝６ａn−ａn-1，ｂn+1＝６ｂn−ｂn-1

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　α，βを２次方程式ｘ^2−６ｘ＋１＝０の根（３±２√２）として，

　　ａn+1−αａn＝β（ａn−αａn-1）＝β^2（ａn-1−αａn-2）＝・・・＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）

α，βを入れ替えると

　　ａn+1−βａn＝α^(n-1)（ａ2−βａ1）＝α^n（ａ1−βａ0）

　　ａn+1−αａn＝β^(n-1)（ａ2−αａ1）＝β^n（ａ1−βａ0）

　したがって，整数列｛ａn｝の一般項は

　　ａn＝｛α^n（ａ1−βａ0）−β^n（ａ1−αａ0）｝／（α−β）

α＝（３＋２√２，β＝３−２√２，

初期値をａ0＝１，ａ1＝３とすると

　　ａn＝｛α^n２√２＋β^n２√２｝／４√２

　　ａn＝｛α^n＋β^n｝／２

初期値をａ0＝−１，ａ1＝１とすると

　　ａn＝｛α^n（４−２√２）＋β^n（４＋２√２）｝／４√２

　整数列｛ｂn｝でも同じ漸化式ですから，同じ一般項になります．

　　ｂn＝｛α^n（ｂ1−βｂ0）−β^n（ｂ1−αｂ0）｝／（α−β）

初期値をｂ0＝０，ｂ1＝２とすると

　　ｂn＝｛α^n２−β^n２｝／４√２＝｛α^n−β^n｝／２√２

初期値をｂ0＝１，ｂ1＝１とすると

　　ｂn＝｛α^n（２＋２√２）＋β^n（２＋２√２｝／４√２

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