｛（ｎ^2−１）／２｝^2 ＋ｎ^2 ＝｛（ｎ^2 ＋１）／２｝^2

　　（ｎ^2−１）^2 ＋（２ｎ）^2 ＝（ｎ^2＋１）^2

のように文字を一つだけ使ったのでは，ピタゴラス三角形全部をもれなく表す公式は作れませんが，二つの文字を使った公式

　　（ｍ^2 −ｎ^2 ）^2 ＋（２ｍｎ）^2 ＝（ｍ^2 ＋ｎ^2 ）^2

では全部を表すことができます．逆に，この式から４より大きい平方数は常に２つの自然数の平方の差として表されることがわかります．

　　｛（ｎ^2−１）／２｝^2 ＋ｎ^2 ＝｛（ｎ^2 ＋１）／２｝^2

　　（ｎ^2−１）^2 ＋（２ｎ）^2 ＝（ｎ^2＋１）^2

斜辺と他の１辺の長さの差が１ですが，ここでは斜辺を除く２辺の長さの差が１であるピタゴラス三角形を求めてみましょう．

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　　ａ＝２ｐｑ，ｂ＝ｑ^2−ｐ^2，ｃ＝ｐ^2＋q^2，ａ^2＋ｂ^2＝ｃ^2

　ここで，｜ａ−ｂ｜＝１とします．このとき，ｐをｑ，ｑをｐ＋２ｑで置き換えて得られる三角形も斜辺を除く２辺の長さの差が１のピタゴラス三角形になっています．

（証）条件より

　　ｑ^2−ｐ^2−２ｐｑ＝±１

　　ａ’＝２ｑ（ｐ＋２ｑ）＝２ｐｑ＋４ｑ^2，

　　ｂ’＝（ｐ＋２ｑ）^2−ｑ^2＝ｐ^2＋４ｐｑ＋３ｑ^2

　　ｃ’＝ｑ^2＋（ｐ＋２ｑ）^2＝ｐ^2＋４ｐｑ＋５ｑ^2

　　ａ’−ｂ’＝−２ｐｑ＋ｑ^2−ｐ^2＝±１

　　ａ’^2＋ｂ’^2＝（２ｐｑ＋４ｑ^2）^2＋（ｃ’−２ｑ^2）^2

＝４ｑ^2（ｐ＋２ｑ）^2＋ｃ’^2−４ｑ^2ｃ’＋４ｑ^4

＝４ｑ^2｛（ｐ＋２ｑ）^2＋ｑ^2−ｐ^2−４ｐｑ−５ｑ^2｝＋ｃ’^2

＝ｃ’^2

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（ｐ，ｑ）＝（１，２）→（２，５）→（５，１２）→（１２，２９）→（２９，７０）→（７０，１６９）→（１６９，４０８）→・・・

　ｑ／ｐ比は√２の最良近似になっている．

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