【１】ラマヌジャンの分割関数

　 ｇ（ｘ）＝ｘΠ（１−ｘ^k）^24＝Στ（ｎ）ｘ^n

　係数τ（ｎ）は乗法的性質，すなわち，（ｎ，ｎ’）＝１ならば

　　τ（ｎ，ｎ’）＝τ（ｎ）τ（ｎ’）

が成り立つ．

　ｍｏｄ７，２３，６９１との大変よい関係もある．

［１］ｎ＝７ｍ＋０，３，５，６のとき，

　　τ（ｎ）＝０　　（ｍｏｄ７）

［２］ｋが２３の平方非剰余のとき，

　　τ（２３ｎ＋ｋ）＝０　　（ｍｏｄ２３）

［３］ｎの約数の１１乗の和をσ11（ｎ）とすると，

　　τ（ｎ）＝σ11（ｎ）　　（ｍｏｄ６９１）

　係数τ（ｎ）のおよその大きさを決めるのは難しい問題のひとつであったが，　　｜τ（ｐ）｜＜２ｐ^11/2

であることをラマヌジャンが予想し，１９７３年にドリーニュがそれを証明した．

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　１９１９年，ラマヌジャンは

　 Ａ（ｚ）＝Π（１−ｚ^k）^4

についても研究している．

［１］すべての整数ｊ，ｋについて和をとると

　［ｚ^n］Ａ（ｚ）＝Σ（−１）^j+k（２ｋ＋１）｛３ｊ^2＋ｊ＋ｋ^2＋ｋ＝２ｎ｝

　ｎ＝４（ｍｏｄ５）のとき，値の計算に寄与するのは

　　ｊ＝４（ｍｏｄ５）　かつ　ｋ＝２（ｍｏｄ５）

このとき（２ｋ＋１）＝０（ｍｏｄ５）→したがって，

　　ｎ＝４（ｍｏｄ５）のとき，ｐ（ｎ）＝０　（ｍｏｄ５）

すなわち，ｐ（ｎ）は５の倍数である．

　同様の証明から

［２］ｎ＝５（ｍｏｄ７）のとき，ｐ（ｎ）＝０　（ｍｏｄ７）

すなわち，ｐ（ｎ）は７の倍数である．

［３］ｎ＝６（ｍｏｄ１１）のとき，ｐ（ｎ）＝０　（ｍｏｄ１１）

すなわち，ｐ（ｎ）は１１の倍数である．

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