アメリカの数学者ポール・ハルモスによれば，ｎ人が集まっていてそのうちの二人の誕生日が同じになる確率が５０％を超えるためには，
ｎ＞１．１８×（３６５）^1/2＝２２．５４４
となることが必要であるという．
もし１年が１０^20日だとすると
ｎ＞１．１８×（１０^20）^1/2〜１．１８×１０^10
を超えないと二人が同じ誕生日となる確率は５０％を超えないことがわかる．これは世界の人口よりもはるかに多くなる．
今回のコラムでは，この便利な概算方法がどのようにして見つけられたものなのか考察してみることにする．
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【Ｑ１】自分の誕生日のパーティーに大勢の人を招待することにする．自分の誕生日がそのうちのひとりと同じのなる確率が５０％を超えるには何人招けばよいか？
（Ａ１）ひとりの誕生日が自分の誕生日と同じにならない確率は３６４／３６５．ｎ人の客がいて，すべて自分の誕生日と同じにならない確率は（３６４／３６５）^n．
自分の誕生日と同じ人がひとりはいる確率は
１−（３６４／３６５）^n＞０．５
より，ｎ＞２５３．この数は３６５／２よりかなり大きい．
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【Ｑ２】客の中のふたりが同じ誕生日になる確率が５０％を超えるには何人招けばよいか？
（Ａ２）このクイズは数多くの本で取り扱われた有名なものである．ｄ＝３６５として，１番目の人と２番目の人が異なる誕生日である確率は１−１／ｄである．また，３番目の人が１番と２番の人と誕生日が異なる確率は，２番目の人は１番目の人と異なる日に生まれたとして，１−２／ｄである．
したがって，ｎ人全員が異なる誕生日である確率ｐnは，
ｐn＝（１−１／ｄ）×（１−２／ｄ）×・・・×（１−（ｎ−１）／ｄ）
となる．求めたい確率ｐは少なくとも２人同じ誕生日の人がいる確率であるから，
ｐ＝１−ｐn＞０．５
よりｎ＝２３．
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【３】ハルモスの概算公式
電卓を使ったとしても，［２］の計算はわずらわしいので，概算方法を示しておく．
このクイズでは２人が同じ誕生日である確率は１／３６５と小さいけれども，３０人もいれば３０人の中から２人を選び出す組合せ数（３０，２）は，３０×２９／２＝４３５通りもあることである．これであれば，同じ誕生日に生まれたペア数の平均値は４３５／３６５となるから，一組以上のペアができると期待できるのである．一般に，１年はｄ日とし，構成員をｎ人とするとペア数の期待値はｎ（ｎ−１）／２ｄになっている．
このことから
ｎ（ｎ−１）／２＞３６５ → ｎ＞２８
としたいところであるが，実際には（Ａ１）で述べたように，
ｎ（ｎ−１）／２＞２５３ → ｎ＞２３
でよく，２３人の中から２人を選び出す組合せ数は
２３×２２／２＝２５３
通りあるのである．
以上のことから，
ｎ（ｎ−１）／２＞ｌｏｇ（０．５）／ｌｏｇ（１−１／３６５）
〜−３６５ｌｏｇ（０．５）
と近似する．左辺の２次式もｎ^2／２と近似すると，
ｎ^2＞−２ｌｏｇ（０．５）×３６５
ｎ＞（−２ｌｏｇ（０．５））^1/2×（３６５）^1/2
ｎ＞１．１７７４１×（３６５）^1/2〜１．１８×（３６５）^1/2
ところで，
ｐn＝（１−１／ｄ）×（１−２／ｄ）×・・・×（１−（ｎ−１）／ｄ）
において，ｎがｄに比べて小さければ，テイラー展開より
１−ｋ／ｄ〜ｅｘｐ（−ｋ／ｄ）
Π（１−ｋ／ｄ）〜ｅｘｐ（−Σｋ／ｄ）
Σｋ＝ｎ（ｎ−１）／２であるから，
ｐ〜１−ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）／２ｄ）
となる．
［３］の結果は
ｐ〜１−ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）／２ｄ）＞０．５
として
ｎ（ｎ−１）／２ｄ＞−ｌｏｇ（０．５）
としたものに等しいというわけである．
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【４】近似のし過ぎ
ハルモスの概算公式は，ｃを定数として
ｃ＝（−２ｌｏｇ（０．５））^1/2〜１．１８
ｎ＞ｃ×（３６５）^1/2
というものであった．
さらに，近似を進めて
ｐ〜１−ｅｘｐ（−ｎ（ｎ−１）／２ｄ）
〜ｎ（ｎ−１）／２ｄ＞０．５
として計算すると，
ｎ^2＞３６５，ｎ＞（３６５）^1/2，ｃ＝１
となって，その誤差は小さくなく精度に問題が生ずる．過ぎたるは及ばざるがごとしというわけである．
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