指数が素数のとき，対応するメルセンヌ数２^p−１は素数にも合成数にもなり得る，

　指数が素数のとき，対応するメルセンヌ数２^p−１は素数にも合成数にもなり得る，それでは，

［Ｑ］ｐをメルセンヌ素数とするとき，２^p−１はメルセンヌ素数であるか？

　カタランは，ｐがもしもメルセンヌ素数ならば２^p−１も素数になると考えた．ｐ＝２^3−１，２^7−１，２^31−１，２^127−１ではそれは正しかった．

　しかし，２^13−１＝８１９１→２^8191−１は合成数であった．

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［Ａ］８１９１＝２^13−１はメルセンヌ素数である．しかし，２^8191−１は素数ではない．これはメルセンヌ素数を指数にもつメルセンヌ素数かという古くからの予想に対する反例となっている．

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