【４】ポアソンの総和公式

　より正確には，

ｌｎＰ（ｅ^-t）＝ζ（２）／ｔ＋１／２ｌｎｔ／２π−ｔ／２４＋ｌｎＰ（ｅ^-4π^2/t）

　p(n)を評価する問題は数論において研究されていて，ラマヌジャンが予想した注目すべき漸近近似式

　　p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))

は，１９１８年，ハーディーとラマヌジャンによって，円周法を用いて証明が与えられています．

　これはハーディーとラマヌジャンによる重要な結果のひとつですが，その後，分割関数はラーデマッハーによって修正され，完全な明示公式

　　p(n)=1/π√(2)Σk^(1/2)Ak(n)d/dn{sinh(πλn√(2/3))/λn}

　　λn=√(n-1/24)，Ak(n)には１の２４乗根が関係する

が与えられました（１９３７年）．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【５】粗い近似と詳しい近似

　ｐ（１００）＝１９０５６９２９２

［１］p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))（１＋Ｏ（ｎ^-1/2）

　ｐ（１００）〜１．９９３×１０^8

［２］p(n)　〜　1/4n√(3)exp(π√(2n/3))（１−１／π・√３／２ｎ）（１＋Ｏ（ｘｅｘｐ（−π√(n/6)）

　　ここで，ｎ←ｎ−１／２４

　ｐ（１００）〜１．９０５６８９４４．７８３

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝