Ｔnが平方数ならば，Ｔ4n(n+1)も平方数になる．

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（Ｑ）△＝□？，すなわち，三角数ｎ（ｎ＋１）／２が完全平方数ｍ^2となるｎの値を求めよ．

（Ａ）ｎ^2＋ｎ＝２ｍ^2

　　４ｎ^2＋４ｎ＋１＝８ｍ^2＋１

　　（２ｎ＋１）^2＝２（２ｍ）^2＋１

ここで，２ｎ＋１＝ｐ，２ｍ＝ｑとおくと

　　ｐ^2−２ｑ^2＝１　　（ペル方程式）

に帰着されます．

　　（ｐ，ｑ）＝（３，２），（１７，１２），（９９，７０），（５７７，４０８），（３３６３，２３７８），・・・

　→（ｎ，ｍ）＝（１，１），（８，６），（４９，３５），（２８８，２０４），（１６８１，１１８９），・・・ｎは完全平方と完全平方の２倍を交互に繰り返します．

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　　８ｘ^2＋１＝ｙ^2

　　ｙ＝２ｎ＋１

　　ｙn＝１／２｛｛（３＋２√２）^n＋（３−２√２）^n｝

ｙn+1＝１／２｛｛（３＋２√２）^n+1＋（３−２√２）^n+1｝

＝ｙ｛（３＋２√２）＋（３−２√２）｝−１／２｛（３＋２√２）^n（３−２√２）＋（３−２√２）^n（３＋２√２）｝

＝６ｙ−１／２｛（３＋２√２）^n-1＋（３−２√２）^n-1｝

＝６ｙn−ｙn-1・・・これでは振り出しに戻っただけ．

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　（２ｎ＋１）^2＝８ｍ^2＋１を満たす（ｎ，ｍ）が存在するとき，

　　（２・４ｎ（ｎ＋１）＋１）^2＝８Ｍ^2＋１

の形に表すことができればよい．

＝｛８ｎ（ｎ＋１）｝^2＋１６ｎ（ｎ＋１）＋１

＝８ｎ（ｎ＋１）｛８ｎ（ｎ＋１）＋２｝＋１

＝１６ｎ（ｎ＋１）（２ｎ＋１）^2＋１＝８Ｍ^2＋１

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