フィボナッチ数列のどの４数をとっても等差数列にはならない．

　しかしながら，素数列では

［１］３−５−７は等差数列をなす３つの素数列の最初のものである．

［２］５−１１−１７−２３は等差数列をなす４つの素数列の最初のものである．

［３］５−１１−１７−２３−２９は等差数列をなす５つの素数列の最初のものである．

［４］７−３７−３７−９７−１２７−１５７は等差数列をなす６つの素数列の最初のものである．

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【１】エルデシュ予想

　「自然数列｛ａi｝がΣ１／ａi＝∞を満たすならば，自然数列｛ａi｝は任意の長さの等差数列を含む．」

　Σ｛１／ｐ）→∞なので，エルデシュ予想を証明すれば各項が素数である任意の長さの等差数列が存在することがわかる．この事実は２００４年にグリーンとタオによって証明された．

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【２】グリーン・タオの定理

　ここで，素数のみからなる等差数列，

　　ａ，ａ＋ｄ，・・・，ａ＋（ｎ−１）ｄ

において，「任意に長いｎ個の素数の等差数列が存在する．」（グリーン・タオの定理：２００４年）

　つまり，３個組，４個組，５個組，・・・，ｎ個組．ｎは１００個でも１００万個でも好きな数だけ等差数列を作れるのである．ただし，公差ｄを指定することはできない．

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