コラム「デルタ多面体の木工製作」では，デルタ１２面体の設計をした．デルタ１２面体は双子の正十二面体とも呼ばれる多面体であるが，凸なので変形しない．実際，

　　ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（３ａｒｃｔａｎ（３−ｈ^2）^-1/2）

とおいて，ｙ＝ｘ，ｙ＝ｇ（ｆ（ｘ））の交点を求めてみると，交点はひとつだけであった（ｘ＝１．２８９１７）．

　それに対して，コラム「変形するデルタ２０面体に対する疑義」に掲げた２個の重五角錐が直角に交わったような双子の正二十面体では，

　　ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（５ａｒｃｔａｎ（３−ｈ^2）^-1/2）

とおいて，ｙ＝ｘ，ｙ＝ｇ（ｆ（ｘ））のグラフを描いてみると，交点が３箇所あることがわかった（ｘ＝０．１４２４，ｘ＝０．６５４５，ｘ＝０．９８４７）．すなわち，双子の正二十面体は３つの安定した形状をとるのである．

　それでは，２つのクロス重角錐の中間に位置する「双子の正十六面体」の場合，交点はふたつあるのだろうか？　ふたつあれば変形するということになるのだが，本当だろうか？

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【１】重四角錐の高さ

　まず，１辺の長さを１とする重四角錐（正八面体）の高さｈを求めてみることにする．ピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができると思われるが，

　　１／（３−ｈ^2）^(1/2)＝ｔａｎ４５°＝１

より

　　ｈ＝√２＝１．４１４２１

となる．

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【２】重四角錐の開口関数

　重四角錐（正八面体）に１本の切れ込みを入れると，口の開いた重四角錐が得られる．一方の開口重四角錐の高さｈから開口の大きさｗを求める．式はピタゴラスの定理から簡単に求められ，

　　ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（４ａｒｃｔａｎ（３−ｈ^2）^-1/2）

　これは他方の開口重四角錐の高さとなるから，

　　ｈ＝ｇ（ｗ）＝（４−ｗ^2）^1/2ｓｉｎ（４ａｒｃｔａｎ（３−ｗ^2）^-1/2）

　ここで，２つの開口重四角錐が歪みなしに接合できるための条件は

　　ｈ＝ｇ（ｆ（ｈ））　　　ｈ：０〜１．４１４２１

である．

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【３】プログラムによる検証

　　ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（４ａｒｃｔａｎ（３−ｈ^2）^-1/2）

とおいて，ｙ＝ｘ，ｙ＝ｇ（ｆ（ｘ））の交点を求めてみよう．グラフを描いてみるまでもなく，以下のような簡単なプログラムでも交点はひとつだけであることが確かめられる（ｘ＝１．０３２９６）．

100 PI=3.14159

110 N=4

120 MADE=SQR(3-1/TAN(PI/N)/TAN(PI/N))

130 FOR X=0 TO MADE STEP .05

140 Y=SQR(4-X*X)*SIN(N*ATN(1/SQR(3-X*X)))

150 IF (3-Y*Y)<=0 THEN 180

160 Z=SQR(4-Y*Y)*SIN(N*ATN(1/SQR(3-Y*Y)))

170 PRINT X,Z,X-Z

180 NEXT X

190 END

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【４】雑感

　双子の正十二面体はそもそも凸多面体であるから変形しない．それに対して，双子の正二十面体は凸でない．この「変形するデルタ２０面体」を初めて模型にしたのはマイケル・ゴールドバーグであるが，彼がこの多面体を発見したのは偶然ではない．この多面体が３つの安定した形状をとることは既に知られていたようである．

　双子の正十六面体も凸ではない．ゴールドバーグは論文

　　Goldberg, M: Unstable polyhedral structures, Mathematics Magazine, May, 1978

の中で双子の正二十面体の場合しか述べていないが，それだけしか調べなかったことはあり得ないものと思われる．双子の正十六面体の場合も調べてみて，唯一の安定な形状を与えたはずである・・・そのように考えるほうが自然な見方であろう．

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