すべての面が正三角形で構成されている立体をデルタ多面体（正三角面体）といいます．結論を先にいうと，正３角形ばかりを集めると４面体から２０面体まで，１８面体以外の８種類すべての偶数多面体ができあがります．

　そのうち，正４面体，正８面体，正２０面体は正多面体にも分類されるのですが，デルタ多面体はそれらを含めて全部で８種類あることがわかりました．逆にいうと，もし多面体の各面が正三角形ならば８つの多面体の中のどれかひとつであるということになります．

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【１】デルタ１２面体の設計

　デルタ１２面体とは１２枚の正三角形からなる双子の正十二面体とも呼ばれる多面体である．まず，コラム「変形するデルタ２０面体に対する疑義」を参考にしてデルタ１２面体を設計してみることにする．

　ここでは，１辺の長さを１とする重三角錐（デルタ６面体）の高さｈを求めてみることにする．ピタゴラスの定理を使えば中高生でも簡単に確かめることができると思われるが，

　　１／（３−ｈ^2）^(1/2)＝ｔａｎ６０°＝√３

より

　　ｈ＝√（８／３）＝１．６３２９９

となった．

　重三角錐に１本の切れ込みを入れると，口の開いた重三角錐が得られる．一方の開口重三角錐の高さｈから開口の大きさｗを求める．式はピタゴラスの定理から簡単に求められ，

　　ｗ＝ｆ（ｈ）＝（４−ｈ^2）^1/2ｓｉｎ（３ａｒｃｔａｎ（３−ｈ^2）^-1/2）

　これは他方の開口重五角錐の高さとなるから，

　　ｈ＝ｇ（ｗ）＝（４−ｗ^2）^1/2ｓｉｎ（３ａｒｃｔａｎ（３−ｗ^2）^-1/2）

　ここで，２つの開口重五角錐が歪みなしに接合できるための条件は

　　ｈ＝ｇ（ｆ（ｈ））　　　ｈ：０〜１．６３２９９

である．ｙ＝ｘ，ｙ＝ｇ（ｆ（ｘ））の交点を求めてみると，

　　ｘ＝１．２８９１７

が近似解となる．

　開口重三角錐２個，すなわち，合同な４面体６個の組み合わせでデルタ１２面体ができあがる．

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【２】アルキメデスの反角柱の設計

　正ｎ角柱を正ｎ角形の中心を結ぶ軸に対してπ／ｎだけねじって頂点同士を直線で結びます．そして側面が２ｎ枚の正三角形になるように高さを調節するとアルキメデス反角柱ができあがります．アルキメデスの正角柱（上下の底面が正多角形で，側面がすべて正方形であるもの）を少しひねって，側面をすべて正三角形にしたものをアルキメデスの反角柱と呼びます．

　これらは準正多面体群に含めて扱われることがあります．側面が６個の正三角形からなる三角反柱は正八面体そのものです．また，正２０面体は側面が１０個の正三角形からなる五角反柱（胴）の上下の面に正五角錐（蓋と底）をつけると構成することができます．

　アルキメデスの正ｎ反柱の高さの値Ｈの求め方は読者の演習問題として残しておきますが，１辺の長さが１であるとき，

　　Ｈ＝｛１−１／（２ｃｏｓπ／２ｎ）^2｝^(1/2)

また，正ｎ角形面と正三角形面の二面角は

　　ａｒｃｃｏｓ（２Ｈ／√３）＋π／２

で与えられます．

　　　　　ｎ　　　　　高さ　　　　二面角

　　　　　３　　　　.816497　　　109.471

　　　　　４　　　　.840896　　　103.836

　　　　　５　　　　.850651　　　100.812

　　　　　６　　　　.8556　　　　98.8994

　　　　　７　　　　.858473　　　97.5722

　　　　　８　　　　.860296　　　96.5946

　　　　　９　　　　.861526　　　95.843

　　　　　10　　　　.862397　　　95.2466

　以下に，中川宏さん作による木工模型を掲げます．

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【３】正ｎ角錐の設計

　［１］にもでてきましたが，１辺の長さを１とする正ｎ角錐の高さＨを求めてみることにします．ｈ＝２Ｈですから，

　　１／（３−４Ｈ^2）^(1/2)＝ｔａｎ（π／ｎ）

また，正ｎ角形面と正三角形面の二面角は

　　ａｒｃｔａｎ（２Ｈ／（３−４Ｈ^2）^(1/2)）＝ａｒｃｔａｎ（２Ｈｔａｎ（π／ｎ））

で与えられます．

　　　　　ｎ　　　　　高さ　　　　二面角

　　　　　３　　　　.816496　　　70.5288

　　　　　４　　　　.707106　　　54.7356

　　　　　５　　　　.52573 　　　37.3773

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