球の接吻数は

　　２^0.2075n≦τn≦２^0.401n

　　２^0.2075n≦τn≦２^0.401n

　　（１．１５４６９）^n≦τn≦１．３２０４２）^n

と指数関数的であることがわかった．

　高次元結晶のファセット数と比較してみたい．

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【１】高次元でも普遍的に存在する結晶

　これまでの研究で，任意のｎ次元空間に４種類の結晶を構成できることがわかっている．

［１］ミンコフスキー結晶：２（２^n−１）

［２］ＢＣＣ結晶　　　　：２^n＋２ｎ

［３］ＦＣＣ結晶　　　　：２ｎ（ｎ−１）

［４］ＨＣＰ結晶　　　　：ｎ（ｎ＋１）

　［１］［４］は正単体，［２］［３］は正軸体・立方体からワイソフ構成される．これまでの通信理論は球充填問題から派生しているが，［３］［４］は内接球をもつ球充填問題である．（最密球充填ではない．）それに対して［１］［２］は外接球をもつ球被覆問題である．

　現行の通信理論を再編するためには，球充填にこだわる必要はない．むしろ，Ｅ8格子やリーチ格子のような例外型でなく，どの次元にも普遍的に存在する無限系列であることのほうが，自然な枠組を与えてくれそうでもある．都合のいい空間をみつけて応用を考えることが重要になると思われる．

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　　ｎ（ｎ＋１）≦２ｎ（ｎ−１）≦τn≦２^n＋２ｎ≦２（２^n−１）

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