［Ｑ］ｖ個の頂点（Ｐ1，・・・，Ｐv）をもつ正多面体が半径１の球に内接しているとき，Ｑ＝Σ(2,v)｜Ｐ1Ｐj｜^2＝Σ(1,v)｜Ｐ1Ｐj｜^2の値を求めよ．

［Ａ］内積をつかえば

　　Ｑ＝（Ｐ1−Ｐ1）・（Ｐ1−Ｐ1）＋（Ｐ2−Ｐ1）・（Ｐ2−Ｐ1）＋・・・＋（Ｐv−Ｐ1）・（Ｐv−Ｐ1）

　ベクトル解析では原点はどこでも好きなところに選ぶことができるから，（Ｐ1を原点とするのではなく）球の中心に原点をおくと，

　　（Ｐj−Ｐ1）・（Ｐj−Ｐ1）＝Ｐ1・Ｐ1−２Ｐ1・Ｐj＋Ｐj・Ｐj

　　Ｐj・Ｐj＝１

より

　　（Ｐj−Ｐ1）・（Ｐj−Ｐ1）＝Ｐ1・Ｐ1−２Ｐ1・Ｐj＋Ｐj・Ｐj＝２−２Ｐ1・Ｐj

よって

　　Ｑ＝２ｖ−２Ｐ1・（Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv）

が得られる．

　正多面体の重心は原点にあるから，その対称性より，

　　Ｐ1＋Ｐ2＋・・・＋Ｐv＝０，Ｑ＝２ｖ

すべての辺と対角線の長さの平方和ＳＳは，すべての頂点において同じ線分が２回ずつ数えられていることから

　　ＳＳ＝ｖ／２×Ｑ＝ｖ^2　　　（ＱＥＤ）

　なお、この議論は３次元のみならず，一般の次元についても成立するものであるから，すべての次元で単位球に内接する正多面体（頂点数ｖ）のすべての辺と対角線の長さの平方和はｖ^2で与えられることになる．

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　Ｐ1＝（１，０）

　Ｐ2＝（ｃｏｓ２π／ｎ，ｓｉｎ２π／ｎ）

とおくと，

　Ｐ1・Ｐ2＝ｃｏｓ２π／ｎ

　　（Ｐ2−Ｐ1）・（Ｐ2−Ｐ1）＝Ｐ1・Ｐ1−２Ｐ1・Ｐ2＋Ｐ2・Ｐ2＝２−２Ｐ1・Ｐ2＝２−ｃｏｓ２π／ｎ

となるが，これはベラハ数

　　Ｂｅn＝２＋２ｃｏｓ（２π／ｎ）　　ｎ＝１，２，・・・

とは関係ないのだろうか？

　　Ｃn＝２−ｃｏｓ２π／ｎ

とおくと

　　Ｃn＝４−Ｂｅn

であるから，

　　０，４，３，２，１．３８２・・・，１，０．７５３１・・・

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