互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れない．

［証］

　　ａ＝３ｋ　　　→　ａ^2＝９ｋ^2

　　ａ＝３ｋ＋１　→　ａ^2＝９ｋ^2＋６ｋ＋１

　　ａ＝３ｋ＋２　→　ａ^2＝９ｋ^2＋１２ｋ＋４

より，ａ^2を３で割ったときの余りは０か１になります．０になるのはａが３の倍数のときです．

　ｂ^2に対しても同じことが成り立ちますから，ａ^2＋ｂ^2を３で割ると，余りは０＋０，０＋１，１＋０，１＋１にしかなりません．０＋０はａもｂも３の倍数であることに対応していて，仮定に反します．

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［１］ｐ進数体Ｑp

　ところで，「互いに素な整数ａ，ｂに対する平方の和ａ^2＋ｂ^2は３で割れない．」はｘ^2＋ｙ^2＝３が３進数体Ｑ3上で解をもたないことを証明したことにほかなりません．

　素数ｐをあらかじめ決めておいて，ａを素因数分解します．ｐのベキ乗部分を分離して，

　　ａ＝ｐ^n・ｂ／ｃ

とするとき，

　　｜ａ｜p＝ｐ^(-n)

という式によって，ａの新しい絶対値を決めます．例えば，ｐ＝３としておくと

　　｜１８｜3＝｜２・３^2｜3＝３^(-2)，｜１９｜3＝１，

　　｜１３／１８｜3＝｜３^(-2)・１３／２｜3＝３^2

などとなります．

　以上で定義した素数ｐごとに定まる絶対値をｐ進付値といいます．ｐ進付値は普通と違って，ｐ^nはｎが大きくなるとゼロに近づきます．すなわち，ｐ進数的に小さいとは，それが高いベキで割り切れるということです．

　ｐ進数は１９世紀にヘンゼルによって導入された非アルキメデス的数体系で，有理数体Ｑを｜｜pで完備化して得られます．ｐ進数の集合は

　　Ｑp＝｛ａ-nｐ^(-n)＋・・・＋ａ0＋ａ1ｐ＋ａ2ｐ^2＋・・・＋ａnｐ^n｝

　　　　　　０≦ａi≦ｐ−１

と書けるのですが，これらの数の中で四則演算ができますから，体をなすというわけです．

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