ペンタグラフェンは上からみるとカイロタイル，横から見ると結構盛り上がっている．

　１段目の上に，２段目を１段目に対して直交方向にも並べて重ねたものが，空間版のカイロのタイル貼りである．カイロタイル構造をみせるる空間充填多面体としては，ウィリアムズのβ１４面体がある．β１４面体も五角形面をもっている．

　また，Bisymmetric hendecahedron（二重の対称性をもつ１１面体）も４個１組で平行六角形の投影図となる．以下に，中川宏さん製作の木工模型を掲げますが，これも横から見ると結構盛り上がっています．

　上から見ると平行六角形ですから，平面を充填します．したがって，空間充填の単位としては、４×２＝８個１組となります．この模型を少し手直しすると正五角形面を持たせることができるかもしれません．

　　http://www.steelpillow.com/polyhedra/five_sf/five.htm

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［まとめ］プラトンの平面充填形は３種類ある．それに対してアルキメデスの平面充填形は８種類ある．その双対図形はスイスの結晶学者ラーベにちなんで，ラーベ充填と呼ばれ，同じく８種類ある．

　Bisymmetric hendecahedron（二重の対称性をもつ１１面体）による充填構造はカイロのタイル貼り（３３４３４の双対）とよばれる平面充填をもとにして考案された空間充填である．同様に，spheroid hendecahedron（楔状１１面体）による充填構造も平面充填（３３３６６の双対）をもとにして考案された空間充填である．

　このような空間充填体が８種類作れるかもしれないのである．

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