［Ｑ］（ｎ−１）^3＋ｎ^3＋（ｎ＋１）^3＝３ｎ^3＋６ｎ＝３ｎ（ｎ^2＋２）＝ｍ^2となる（ｎ，ｍ）を求める．

［Ａ］１^3＋２^3＋３^3＝１＋８＋２７＝３６＝６^2

　　　２３^3＋２４^3＋２５^3＝（２^2３・１７）^2＝２０４^2

など（ｎ，ｍ）＝（２，６），（２４，２０４），・・・

　この問題に関連してであるが，ｎ^3−４型の平方数は（２，４），（５，１２１）の２つであることをフェルマーが示している．

　　ｎ^3−４＝ｍ^2

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　ｘ座標もｙ座標も整数である点を整数点，座標が有理数である点を有理点といいます．

　楕円曲線：ｙ^2 ＝ｘ^3 ＋１には無限に多くの整数点があるでしょうか．あるいは一つでも整数点はあるでしょうか．実は，これには整数点は（２，±３），（０，±１），（−１，０）の５つしかありません．また，この楕円曲線には有理点もやはりこの５つしかないのです．

　また，ｙ^2 ＝ｘ^3 −２は（３，±５）以外の整数点をもちませんが，無数に有理点が得られます．たとえば，（１２９／１００，±３８３／１０００）

　ｙ^2 ＝ｘ^3 −４の整数点は（２，±２），（５，±１１）だが，有理点は（１０６／９，±１０９０／２７）など無数個存在する．

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