はすべての正の整数は４つの平方数の和として表すことができるだろうか．答えはyesである．

　ラグランジュの４平方和定理によれば，すべての正の整数ｎは４つの平方和として表すことができる．

　　ｎ＝ａ^2＋ｂ^2＋ｃ^2＋ｄ^2

「任意の自然数は４つの平方数の和の形に表せる．」＝「ｎ＝□＋□＋□＋□」

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【１】ウェアリングの問題とヒルベルトの定理

　１７７０年，ウェアリングは４平方和定理を拡張して，

　　「任意の整数はたかだか９個の３乗数の和として，あるいは１９個の４乗数の和として表される」

ことを証明抜きで主張しました．これが，有名なウェアリングの問題です．

　４^k（８ｎ＋７）の形の数は４個の２乗を必要とするのに対して，９個の３乗を必要とする数は，たった２つの場合だけが知られています．

　　２３＝２・２^3＋７・１^3

　２３９＝２・４^3＋４・３^3＋３・１^3

　ウェアリングの問題は，２次形式ではなく高次形式を扱っていて，多くの数学的思考を刺激しました．そして，１９０９年，ヒルベルトによって

　　「どの数もｇ個のｋ乗数の和で表される」

ことが肯定的に証明されています．

　　ｎ＝ｘ1^k＋・・・＋ｘg^k

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

【２】９三乗数定理，１９四乗数定理，・・・

　１９四乗数定理：

　　「すべての正の整数は１９個の４乗数の和で表される」

は１９８６年に証明されています．つまり，ウェアリングの問題も約２００年かかって解決されたことになります．

　なお，ｇ乗数は平方数よりもずっとまばらにしか分布しませんから，以下，３７個の５乗数の和，７３個の６乗数の和，・・・と続きます．

＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝