Ｔn＝ｎ（ｎ＋１）／２

とすると，

　　Ｔ2＋Ｔ2＝Ｔ3

　　Ｔ532＋Ｔ450＝Ｔ697

などが成り立つことがわかりましたが，

　　Ｊ^2＝［１１，８］

　　　　　［４，３］

　　［ａn+1，ｂn+1］＝［１１，８］［ａn，ｂn］

　　［ｃn+1，ｄn+1］＝［４，３］［ｃn，ｄn］

　　２ｘ＋１＝ａｂ－ｃｄ，２ｙ＋１＝ａｄ＋ｂｃ，２ｚ＋１＝ａｂ＋ｃｄ

から，（ｘ，ｙ，ｚ）を求めるのでは複雑すぎます．

　そこで，シェルピンスキーの論文にしたがって，

（Ｑ）△＋△＝△を満たす整数解はあるか？

を解いてみましょう．

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　三角数では

　　Ｔn＝ｎ（ｎ＋１）／２＝｛（ｎ＋１）^2－（ｎ＋１）｝／２

　　（ｕn^2－ｕn）／２＋（ｖn^2－ｖn）／２＝（ｗn^2－ｗn）／２

が得られればよいことになります．

　　ｕn＝ｘｂn＋ｙａn

　　ｖn＝ｘｂn－ｙａn

　　ｗn＝２ｚｂn

とおくと，

　　ｕn＋ｖn＝２ｘｂn

　　ｕn^2＋ｖn^2＝２ｘ^2ｂn^2＋２ｙ^2ａn^2

　　ｕn^2＋ｖn^2－ｗn^2－ｕn－ｖn＋ｗn

＝２ｘ^2ｂn^2＋２ｙ^2ａn^2－２ｘｂn－４ｚ^2ｂn^2＋２ｚｂn

＝２ｙ^2ａn^2＋（２ｘ^2－４ｚ^2）ｂn^2－２（ｘ－ｚ）ｂn

となって，

　　ａn^2－ｍｂn^2－１＝０

の形になりません（ＮＧ）．

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