Tn=n(n+1)/2
とすると,
T2+T2=T3
T532+T450=T697
などが成り立つことがわかりましたが,
J^2=[11,8]
[4,3]
[an+1,bn+1]=[11,8][an,bn]
[cn+1,dn+1]=[4,3][cn,dn]
2x+1=ab-cd,2y+1=ad+bc,2z+1=ab+cd
から,(x,y,z)を求めるのでは複雑すぎます.
そこで,シェルピンスキーの論文にしたがって,
(Q)△+△=△を満たす整数解はあるか?
を解いてみましょう.
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三角数では
Tn=n(n+1)/2={(n+1)^2-(n+1)}/2
(un^2-un)/2+(vn^2-vn)/2=(wn^2-wn)/2
が得られればよいことになります.
un=xbn+yan
vn=xbn-yan
wn=2zbn
とおくと,
un+vn=2xbn
un^2+vn^2=2x^2bn^2+2y^2an^2
un^2+vn^2-wn^2-un-vn+wn
=2x^2bn^2+2y^2an^2-2xbn-4z^2bn^2+2zbn
=2y^2an^2+(2x^2-4z^2)bn^2-2(x-z)bn
となって,
an^2-mbn^2-1=0
の形になりません(NG).
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