Ｔn＝ｎ（ｎ＋１）／２

とすると，

　　Ｔ2＋Ｔ2＝Ｔ3

　　Ｔ532＋Ｔ450＝Ｔ697

などが成り立つことがわかりましたが，

　　Ｊ^2＝［１１，８］

　　　　　［４，３］

　　［ａn+1，ｂn+1］＝［１１，８］［ａn，ｂn］

　　［ｃn+1，ｄn+1］＝［４，３］［ｃn，ｄn］

　　２ｘ＋１＝ａｂ−ｃｄ，２ｙ＋１＝ａｄ＋ｂｃ，２ｚ＋１＝ａｂ＋ｃｄ

から，（ｘ，ｙ，ｚ）を求めるのでは複雑すぎます．

　そこで，シェルピンスキーの論文にしたがって，

（Ｑ）△＋△＝△を満たす整数解はあるか？

を解いてみましょう．

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　三角数では

　　Ｔn＝ｎ（ｎ＋１）／２＝｛（ｎ＋１）^2−（ｎ＋１）｝／２

　　（ｕn^2−ｕn）／２＋（ｖn^2−ｖn）／２＝（ｗn^2−ｗn）／２

が得られればよいことになります．

　　ｕn＝ｘｂn＋ｙａn

　　ｖn＝ｘｂn−ｙａn

　　ｗn＝２ｚｂn

とおくと，

　　ｕn＋ｖn＝２ｘｂn

　　ｕn^2＋ｖn^2＝２ｘ^2ｂn^2＋２ｙ^2ａn^2

　　ｕn^2＋ｖn^2−ｗn^2−ｕn−ｖn＋ｗn

＝２ｘ^2ｂn^2＋２ｙ^2ａn^2−２ｘｂn−４ｚ^2ｂn^2＋２ｚｂn

＝２ｙ^2ａn^2＋（２ｘ^2−４ｚ^2）ｂn^2−２（ｘ−ｚ）ｂn

となって，

　　ａn^2−ｍｂn^2−１＝０

の形になりません（ＮＧ）．

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