ここで，いささか天下り式なのですが，

　　ｕn＝３ｂn＋ａn／３

　　ｖn＝３ｂn−ａn／３

　　ｗn＝４ｂnとおきます．

　すると，

　　ｕn^3＋ｖn^3−ｗn^3−ｕn−ｖn＋ｗn

＝（ｕn＋ｖn）（ｕn^2−ｕnｖn＋ｖn^2−１）−ｗn^3＋ｗn

＝２ｂn（ａn^2−５ｂn^2−１）＝０

より，

　　（ｕn^3−ｕn）／６＋（ｖn^3−ｖn）／６＝（ｗn^3−ｗn）／６

が得られます．

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　四面体数：

　　Ｔn＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６＝｛（ｎ＋１）^3−（ｎ＋１）｝／６

ですから，

　　Ｔun-1＋Ｔvn-1＝Ｔwn-1

なる関係が得られたことになります．

　　ｕ1＝３ｂ1＋ａ1／３＝１５，ｖ1＝３ｂ1−ａ1／３＝９

　　ｗ1＝４ｂ1＝１６

→Ｔ14＋Ｔ8＝Ｔ15

　以下同様に，

　　Ｔ54＋Ｔ20＝Ｔ55，Ｔ118＋Ｔ34＝Ｔ119，Ｔ138＋Ｔ38＝Ｔ139，・・・

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［まとめ］四面体数についても三角数と類似の関係が得られました．

　四面体数では，

　　Ｔn＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）／６＝｛（ｎ＋１）^3−（ｎ＋１）｝／６

でした．

　三角数では

　　Ｔn＝ｎ（ｎ＋１）／２＝｛（ｎ＋１）^2−（ｎ＋１）｝／２

　しかし，５胞体数では，

　　Ｔn＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）／２４

≠｛（ｎ＋１）^4−（ｎ＋１）｝／２４

となってしまいます．

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